Question

The end of the tale

合成関数の問題なのですが。まだ高1なので代入した時に何故2f(x)になるのかがわかりません。ちなみにこの問題の(2)です。よろしくお願いいたします。

a
5
OOOO0
重要 例題68 定義域によって式が異なる関数 (2)
関数 f(x)(0Sx<4) を右のように定義すると
き,次の関数のグラフをかけ。
(1) y=f(x)
114
(0Sx<2)
18-2x (2<xミ4)
2x
f(x)=
(2) y=f(f(x))
1
指針>定義域によって式が変わる関数では, 変わる 境目のx, yの値 に着目。
(2) f(f(x)) はf(x) の xにf(x)を代入した式で,
0Sf(x)<2 のとき 2f(x),
(1)のグラフにおいて, 0<f(x)<2となるxの範囲と, 2<f(x)<4となるxの範囲を見
極めて場合分けをする。
2Sf(x)<4のとき 8-2f(x)
解答
変域ごとにグラフをかく。
4(1)のグラフから,f(x) の
変域は
0<x<1のとき
0Sf(x)<2
1Sx<3のとき
2<f(x)<4
(1) グラフは図 (1)。
|2f(x)
(2) f(f(x))={
(0Sf(x)<2)
8-2f(x) (2<f(x)<4)
よって,(1)のグラフから
0Sx<1のとき
1Sx<2のとき
2Sx<3のとき
3<x<4のとき
よって,グラフは 図 (2)。
f(f(x))=2f(x)=2-2x=4x
f(f(x))=8-2f(x)=8-2-2.x=8-4x
f(f(x))=8-2f(x)=8-2(8-2x)=4x-8
f(f(x))=2f(x)=2(8-2x)=D16-4x
3<x<4のとき
0Sf(x)<2
また,1SxS3のとき,
f(x)の式は
1Sx<2なら f(x)=D2x
2<x<3なら f(x)=8-2.x
のように,2を境にして式
が異なるため,(2) は左の解
答のような合計4通りの場
合分けが必要になってくる。
1=||
4
4
A
2
I
1
T
0
1
2 3
4
X
0
1234
x
参考 (2)のグラフは, 式の意味を考える方法でかくこともできる。
[1] f(x) が2未満なら2倍する。
[2] f(x) が2以上4以下なら, 8から2倍を引く。
[右図で,黒の太線 細線部分が y=f(x), 赤の実線部分が
ソ=f(f(x)) のグラフである。] なお, f(f(x))をf(x) とf(x) の
合成関数 といい, (ff)(x) と書く (詳しくは数学Ⅲで学ぶ)。
8から2倍を
引く
4
2
0
2倍する
4
x
で

定義域によって式が異なる関数

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

頑張る人

指針に書いてあるとおり、f(f(x)はf(x)のxにf(x)を代入した式だからです。
つまり、ただ単に代入しただけです。
分からなければ言ってください。

The end of the tale

何故2が出てくるのでしょうか？

頑張る人

問題文に書いていますよ。

The end of the tale

2xを代入してるってのはなんとなくわかるんですが、それだと8-2xの方は何故8-2f(x)なのですか？

頑張る人

f(f(x))はf(x)にf(x)を代入するという意味です。

例 : f(x)=3x+5
→f(f(x))=3(3x+5)+5

みたいな感じです。

頑張る人

f(x)=8-2x

つまり、xに f(x)を代入しても、8-2xを代入しても、同じ意味になりますよね？

The end of the tale

関数の定義が曖昧なのかもしれません一回じぶんで考えてみたいと思います。

頑張る人

はい、それでも分からなければ言ってください。

多分、調べても「f(f(x))はf(x)にf(x)を代入する」と出てくると思います。

The end of the tale

ある程度分かったのですが何故このような場合分けになるのか回答を見ても分かったのですが分かりません。
教えてください

頑張る人

どうでしょうか？
質問者さんが理解出来るまで教えるので分からなければまた言ってください。

頑張る人

今書いたものは考え方なので、もしテストで類題が出された場合、解答用紙にはこのような事は書かない方がいいと思います。

The end of the tale

なんとなく理解できました。ようはyの値が2からが境界線？みたいになっててそれによってf(f(x))の式が変わるから場合分けして細かく見ていこうということですよね。

頑張る人

はい、そういう事です！

The end of the tale

時間を奪ってしまい申し訳ございませんでした。
これからも質問することがあると思いますがその時はよろしくお願いいたします。😔

頑張る人

答えたくて答えているだけなので気になさらないでください！私もまだ未熟なので全て完璧に答えられるとは限りませんが、自分が分かるものであれば自分の復習を兼ねて答えますね👍🏻