x0,y≧0 のとき,x,yの関数(x,y)=x^2-4xy+5y2+2y+2 の最小値を求めよ。 また、
EX
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このときのx,yの値を求めよ。
[北星学潜大]
f(x,y)=x2-4xy+5y2+2y+2
={(x-2y)2-(2y)}+5y2+2y+2
=(x-2y)2+y2+2y+2
=(x-2y)2+{(y+1)2-12}+2
=(x-2y)2+(y+1)+1
x≧0, y≧0 のとき
y+1≧1, x-2y はすべての実数
よって
(y+1)2≧1, (x-2y)20
ゆえに
f(x, y)≥2
したがって, y+1=1, x-2y=0, すなわち
x=0, y=0で最小値2をとる。
y を定数と考え、xに
ついて基本形に変形。
y2次式も基本形に
変形。
x0,y≧ で場合
x-2yはすべての実数
値をとる。
f(x,y)≧0+1+1=2
