確率の問題です。(3)の最後になんで1でいいのか教えてください🙇‍♀️

10 =11 例題212 反復試行の確率 [2] ･･･先に勝 A,Bの2人がくり返し試合をして,先に4勝した方を優勝者とする。 各試合において,引き分けはなく、AがBに勝つ確率は 1/3である。この が出ると良 とき次の確率を求めよ。 ** O 思考プロセス (1) 4試合目でAが優勝する確率 (2) 5試合目でAが優勝する確率 (3) 7試合目で優勝者が決まる確率 条件の言い換え (1) 4試合目でAが優勝 Aが4連勝 (2) 5試合目でAが優勝 1試合目2試合目3試合目4試合目 5試合目 Aが勝つ 3勝1敗 (3) 7試合目で優勝が決まる 1試合目 6試合目 7試合目 あるから、求める確率は(1/3)= 81 3勝3敗 どちらが勝っても優勝が決まる Action》 優勝するためには, ｢勝ち」で終わることに注意せよ 3 1 C. (+/-) * ( ²3 ) ² + + + + = 5試合目でAが優勝する場合 1試合 2試合3試合 4試合5試合 X O 〇〇 OX O 8 3 243 Toollo (2) 5試合目でAが優勝するのは,最初の4試合でAが 3勝1敗となり, 5試合目でAが勝つ場合であるから、 M 求める確率は よって、求める確率は のは、 3 3 6 C 3 ( 1 ) * ( 1²/3 C3 x1= Klololo 160 729 OO XO OX O 一 (3) 7試合目で優勝者が決まるのは,最初の6試合で3勝3 敗となる場合である。 T 1\²_IL このとき、7試合目はどちらが勝っても優勝者が決まる。 A 818 lolololx 解 (1) 4試合目でAが優勝するのは, Aが4連勝する場合で各試合の結果は,独立で あると考える。 O (2) O O × [頻出] C3通り ｢この場合 はない 「最初の4試合でAが3勝 1敗となる確率は,反復 試行の確率で求められる。 Aが優勝しても, Bが 優勝してもよいことに注 意する。 6章 16 いろいろな試行と確率

②'からkを消去しようとすると、Y=0、Y≠0で場合分けすると思います。Y=0のとき、②'は2X=0で、X=0になります。ここで①'にY=0、X=0を代入すると、k･0+2･0+2･k=0となり、これを満たすkはすべての実数となると思います。しかし実際は①'からkを消去する... 続きを読む

例題 121 軌跡 [10] ･･･ 2直線の交点の軌跡 ☆★☆★★☆ 2直線 kx+2y+2k = 0 ... ①, 2x-ky = 0 ... ② がある。 kの値が変化 するとき、この2直線 ①, ② の交点の軌跡を求めよ。 思考プロセス ① 軌跡を求める ①, ② の交点をP(X, Y) とおく。 与えられた条件を式で表す。 ③ 2 の式からk を消去して,X,Y の式を導く。 素直に考えると･･･ ① ② の交点の座標を実際に求め, k を消去して X, Y の式を導く。 2k² ①, ② を連立すると X = Y = - 4k 4+k² 4+k²¹ kを消去するのは大変 ①, 見方を変える の交点P 点Pは①, ② 上にある点 JkX+2Y+2k=0\ k を消去して 【2X-kY=0 X, Y の式へ 4 除外点がないか調べる。 « Ro Action 点Pの軌跡は, P(x, y) とおいてx, yの関係式を導け 例題112 解 2直線の交点の座標をP(X,Y) とおくと JkX +2Y + 2k = 0 ...O' 【2X-kY=0 ...2' ①'より k(X+2) +2Y = 0 (ア) X キー2 のとき k = - 2Y X +2 2Y 2X- X-(-X ² + ₂ ) · X · X+2 中心 (-1, 0), 半径1の円 ただし,点(-2, 0) を除く。 ②'に代入すると X' + 2X + Y' = 0 整理すると すなわち (X + 1)2 + Y° = 1 (ただし X ≠ -2) (イ) X = -2 のとき ⑩'より Y = 0 一方,X = -2, Y = 0 を②′ に代入すると 2.(-2)-k0= 0 これを満たすんは存在しな いから, X = -2, Y = 0 は不適。 (ア), (イ)より、求める軌跡は .Y = 0 2x-ky=0 kx+2y+2k=0 y ①' ②' から直接kを消 去し, X と Y の関係式を 求める。 X +2が0かどうかで場 合分けする。 分母をはらって 2X(X+2)+2Y² = 0 ①' から得られた X = -2, Y = 0 が ② ′ も満たすか確かめる。 点 (-2, 0) は, (ア)で求め た円 (x+1)+y°=1 上 の点である。 練習 121 2 直線 x+ky+k=0,kx-y+3=0 がある。 kの値が変化するとき, この 2直線の交点の軌跡を求めよ。 p.244 問題121 特講 2 章 8 軌跡と領域 217

直円錐の頂点と球の中心を含む面で切る の意味がよく分かりません。 2枚目の写真のように縦に切るということですか？

22 最大最小の図形への応用 大 思考のプロセス 半径3の球に内接する直円錐の体積の最大値を求めよ。 また,そのときの なるのは 高さを求めよ。 ● 次元を下げる 立体のまま考えるのは難しい。 丁 直円錐の頂点と球の中心を含む面で切った断面図で考える。 未知のものを文字でおく 体積が最大になるときの高さも求めるから, 高さをxとおく。 体積をxの式で表す。 xの定義域を考える。 Action 文章題は、未知のものをxとおいてその変域に注意せよ IA 例題65 5章 導関数

(2)がわかりません ピンクで丸してるのですがd/dtがなぜ-3sintになってるのか教えてください

(2) 例題150 媒介変数で表された関数の第2次導関数 x= x = sint, y = (1) (1) 解答 解法の手順･･･････ 1 | dx dy を求める。 dt” dt 21 を利用して, を求める｡ 31 はtの関数 をxで微分する。 dy dx 17 Action 媒介変数で表された関数の第2次導関数は, de dx dt cost キ0 のとき dy dt dx dt d² y dx² ここで よって (AlleY 3 - sin2t で表された関数について 4 √ (2) tの式で表せ。 = cost, dy dx = d² y dx2 ||| d dt d (dy dxdx dy dt d2y dx² SA dy dx = = = 3 2 = 3 2 1d (dy dt dx - 3sint - cos2t cost cos2t であるから cost dx dt -3sint dy dx dy dx 3sint 2cos2t = 3 cost- d'y dx2 3sint 2 cos² t 3 2 cost -=-3tant- tの式で表せ。 d'y _ d (dx)/ de dy dx = dtdx dt 例題140,148 3tant 2cos² t ◄(sin2t)' = 2 cos2t cos2t = 2cos2t-1 s(-x)³(1) d'y dt² d² y dx2 d² x ¯s(-x))^(-) = (x) dt² いけない。 105301= [1] [$] = 7)*(-)--(cost を用いよ (cost) = = = として (cost)' (cost)2 sint cos² t (1 [8] [1

黒矢印のところがなぜそうなるのか分かりません

例題123 はさみうちの原理の利用・ 次の極限値を求めよ。 ただし, [x]はxを超えない最大の整数とする。 ✓ [x] 1 x (1) limxcos x+0 (解答 ....... Action 式変形できない関数の極限は,不等式をつくりはさみうちの原理を用いよ 解法の手順･･ ･1 (1) は極限を求める関数の絶対値を考える。 2極限を求める関数に関する不等式をつくる｡ 3 | はさみうちの原理を適用する。 (1) 0≦cos. ≦1より ≤cos ≤1 kh 0≦xcos XC ここで mxcos ing|x0=0 lim xcos x→0 よって 2008/1/11 x ここで, ling|x|= 0 であるから, はさみうちの原理より ≤ |x| 1 limxcos ==0 X (2) lim x x →∞ x したがって (2) nを整数として,n≦x<n+1のとき [x] = n よって, [x]≦x<[x] +1 より coss x x-1<[x]≦x x→∞のとき,x>0としてよいから,各辺をxで割って x-1 [x]* ≤1 x したがって, はさみうちの原理より ≦|x| x-1 lim *¹ = lim(1-¹)=1 x xα [x] lim x →∞ XC I+ = 1 ((S) S →例題90 絶対値をとって不等式 をつくる。 絶対値をとら 1 ずに -1≦cos —≦1を x 用いてもよいが,x → 0 より (ア) x>0 のとき -x≤xcos- =(1+x)2011x (イ) x<0 のとき ≦x 1 x≦xCOS≦-x と場合分けして考えなけ ればいけない。 Point 関数の極限の大小関係 (1)q の近くのすべてのxについて f(x) ≧ g(x)≦h(x)が成り立ち、かつ limf(x)=limh(x)=αならば limg(x)= =α (はさみうちの原理) x-a xα (このことは xや n x n+1 II [x] [x]+1 xは正の無限大に向かっ ていくから,x>0とし て考えてよい。

はじめになぜa>0としたのか 最後の行の-b ゆえにb=0になるところがわかりません。

問題 120 極限と係数決定 [2] 次の等式が成り立つように,定数a, 6の値を定めよ。 lim{v/x-2 -(ax+b)} = 0 解法の手順・ Action 根号を含む関数の不定形の極限は,分子または分母を有理化せよ FRAL1 +Enz ≦0 のとき, 与えられた極限は∞に発散するから a>0 ↑ 発散しな いように!! X→∞ ・1 分子の有理化を行う。 2 lim X→∞ ゆえに √x²-2-(ax+b) _{√x² − 2 − (ax+b)}{√x² − 2 + (ax+b)} √x²-2+(ax+b) (1-α²)x2-2abx- (2+62) √x²-2+(ax+b) 分母の最高次の項で,分母・分子を割り、この極限が収束する条件を考える。 32の結果と極限値からα, b の値を求める。 b=0 (1-a²)x-2ab- b 今の中で 顔ともはズが 女になる √1-2 x² +a+ - x 「よってx∞のとき, これが収束する条件は 1-a² = 0 a>0 より α = 1 であり,このときの極限値は 2+6² -26 x 2 x² +1+ 2 +62 したがって Pointly 近線 b x a=1,6=0 x = この - 26 2 2²-2-(ax+b)^ ✓²-2+ax+b) = -b →例題117, 119 <lim√x-2=8, a < 0 のとき lim{-(ax+b)}= X00 x →∞ 例題120 の結果は、右の図のように,y=√x-2 と直 線y=x との差が、xの値が限りなく大きくなるにした がって限りなく0に近づくことを示している。 すなわち = =x²-2-2²-2ab5分子を有理化する。 a=0のとき lim{-(ax+b)} = -6 x →∞ よって, a≧0のとき + (ax+b) lim{√x² − 2 − (ax + b)} = 00 (1-a²x²-2abx+6x→∞より,x>0と考 えて,分母, 分子をxで √x²=2+ (0216) 割る。 =8 分母のみの極限値は 2 YA lim_ X→∞ y=x +a+ = 1+a であるが, a>0 より 0 にならない。 b x -2 3章 関数の極限 10

下の方です なぜ、pqについての恒等式と言えるのですか？

例題 231 定積分と係数決定 f(x)=ax²+bx+c とする。 このとき,どのような1次以下のxの整式で →例題 51,229 決される関数 g(x)に対してもS, f(x)g(x)dx = 0 が成り立つようなf(x) を求めよ。 ただし, f(1) = 2 を満たすとする。 Action Lif(x)dx は偶関数・奇関数の性質を利用せよ ･11次以下のxの整式をpx+q とおく。 解法の手順・・ f(x) g(x)dxの値を計算する。 3 p, g に関する恒等式とみて,各項の係数を比較する。 解答 f(1) = 2 より a+b+c = 2 次に,g(x) = px+q とおくと [₁ f(x)g(x)dx= [(ax² (ax²+bx+c)(px+q)dx = [ {apx³ + (aq+bp)x² + (bq + cp)x+cq}dx [ {(ag+bp)x² + cq}dx = 2[// (aq + bp)x³ + cqx] 2 - (aq+bp) +2cq 3 2 =2 = = よって, + 3 ∫f(x) g(x)dx=0のとき ²3 bp + (²/3a+2c)a= これが任意の実数gについて成り立つとき -a +2c=0 a = 3, b = 0, c = -1 f(x)=3x-1 = 2 ① ② したがって a + ... 1 nが0以上の整数のとき 2n [²₁x² dx = 2√²x² [²₁x²+1 dx = 0 -a 1=0 + どんなP.9でも成りたつ からとつくは乳 pとg について式を整理 した。 x2ndx pg についての恒等式で ある。 b=0 (2a +6c = 0 la+c=2 以下のの整式 .

オレンジで囲ったあたりからわかりません。 なぜx=y=10√10なのですか？

例題184 対数関数の最大・最小〔3〕 x≧10,y≧10, xy = 10° のとき, (log10x) (log10y) の最大値と最小値を求 例題182, IA74 めよ。 また, そのときのx,yの値を求めよ。 Action 対数の積・商を含む式は,対数を1つの文字に置き換えよ 1logiox=u, log10yとおき, uのとり得る値の範囲を求める。 解法の手順・ 2 (log10x) (log10y) をひの式で表す。 31の範囲における2の最大値と最小値を求める。 解答 log10x=u, log10y = v とおく。 x≧10, y ≧10 より log10x≧log1010= 1, log10 y≧logio 10 = 1 C u ≥ 1, v≥1 よって また, xy=103 より SENTOUT 10g10x+log10y = 3 u+v=3 よって ① ② より ゆえに ここで, logıoxy= log10 103 u=3-v≦2 S=uv=u(3-u) = − u² +3u 3 2 右のグラフより, ③ の範囲で 3 2 2 4 = -(u- + 1≤u≤2 ...3 S (log10x) (log10y) とおくと = このときv= 9 Sはu= のとき 最大値 4 となり ・② loga 3 2 また, u = 1,2のとき 最小値2 u=1のとき v = 2 となり u=2のときv=1 となり La MNV = loga M + loga N 9 AS 2 0; x=y=10√10 132 2 x=10, y=100 x=100, y = 10 u 9 したがって,Sはx=y=10√10 のとき 最大値 4 x = 10, y =100 または x = 100, y = 10 のとき 最小値2 底は10で1より大きい から 不等号の向きは変 わらない。 < ② より v = 3-u 3 2 x = 10% = 10√/10 ◄logio x のとき Saigof ea * 10 4 4章 12 対数関数

三角関数の問題です。 1の解説の線を引いた部分がなぜ1になつのか教えてください

157 1 | (1) 関数y=sin0-√3cost (²) の最大値と最小値,およびそ のときの0の値を求めよ。 ≦ 2 | (②2) 関数 y = 4sin0 +3cos000 の最大値と最小値を求めよ。 《Action asin0+ bcos0 は, rsin (0+α) の形に合成せよ サインとコサインを含む式 0 ≤ 0 SA (1) y = sin0-√/3 cost 合成 ↓ y=2sin0 サインのみの式 ≤sin 0 5) - (0 - 3) ≤ 3 したがって ≤ 2 sin (0- π 0-12/03 π 3 (0-5) ≤ 3 (2) 合成すると,αを具体的に求められない。 →αのままにして, sinα, cosa の値から,αのおよその目安をつけておく。 ■(1) y = sin0-√3 cos0=2sin0 π π 2 OSOSIKY - ≤0-T ≤ ²/3 n 3 3 √√3 2 -√3 ≤ 2sin(0-) ≤ 2 よって sin (07/1 ≦ 3 π 0. 18-01/2 = 1/27 すなわち 5 0=1のとき 最大値2 0 6 図で考える 24 アル 6-12/2 = -17 すなわち 8=0のとき 最小値-/3 0匹 3 3 -1 0 81x 081% -1 YA ③ y 0 3₁ A K 3 2 Sk P 2/30/ ★★ X 71 x

オレンジで囲ってるところは、どこからきた数字ですか？

例題127, 137,147 0≦2のとき, 関数 y= sin20-2sin-2cos0+1 について 例題150 sine, cose の対称式である関数の最大・最小 Action 解法の手順・ (1) sin+cos0 = t とおくとき, y をtの式で表せ。 また,tのとり得る値 の範囲を求めよ。 (2)yの最大値と最小値,およびそのときの0の値を求めよ。 π 4 J00-00 sin0, cose の対称式は,t= sin0+ cos0 と置き換えよ 解答 (1) y = 2sin cos0-2(sin0+ cos0)+1 ここで sin+cose = t の両辺を2乗すると t² - 1 sin Acost: 2 ･12倍角の公式より, 角を0にそろえる。 2t = sin0+cost を2乗して, sincost をtの式で表す。 3三角関数の合成を利用して,t の値の範囲を求める。 1+2sin@cost=tより よって t²-1 2 y=2. さらに 0≦0 <2πであるから -√2 ≤t≤√2 (2)y=-2t=(t-1)2-1 右の図より,-√2 ≦t≦√2の範囲で yはt=-√2 のとき最大値2+2√2 t=1のとき 最小値-1 -2t+1=t2-2t = √2 sin(0+1) t = sin0 + cos0=√2 sin0 + 0≦0 <2πより, TU 9 ≤0+ πであるから 4 t=-√2 のとき sin 0 + π √2 sin (01²) = -√² て ↓割と (0+2) -1 より 0= 4 π t=1のとき sin (04/11/12より0=0. 0+ 0, したがって TC 2 34 √20 2+2√2 0 = 0, のとき 最小値-1 JUAN 5 0= πのとき 最大値 2+2√2 のとき 4 √2 1|2 2倍角の公式 (sin+cos0 ) 2 = sin 20+2sin/cost+cos' =1+2sin@cose YA 1 √2 10+ 4 π 9 ≤0+ < 1/x kh 4 4 π 4 -1 ≤ sin(0+) ≤1 -√2 ≤ √2 sin(0+4) ≤ √2 π 4 40+ === 4 13 x 2 TC TU までなら Sina chi 34 π 最大は1 1511 角