指数関数を含む関数の最大値·最小値の求め方をマスターしよう!
STEP 2 解法MASTER テーマ8 指数関数を含む関数の最大·最
目標
[例題8}
関数y=4"+
4*
ー-2(2"+)+4 がある。
2*
1
-=tとおくとき,yをtの関数で表せ。
2*
(2) yの最小値を求めよ。また,そのときのxの値を求めよ。
考え方
yをtの2次関数に帰着させる。tのとり得る値の範囲に注意する。
解法のプロセス
1
=tとおき,xの関数からtの関数に置き換える。
2*
0 2*+
tのとり得る値の範囲を相加平均と相乗平均の大小関係を利用して求める。
3tの2次関数に帰着させて,最小値を求める。
解答
2
=1の両辺を2乗すると (2"+)- +2+-P
1
2x+
2*
4*+2+
4*
よって 4*+-=-2
4*
したがって、与式は y=(t?-2)-2t+4
すなわち y=-2t+2 …答
(2) g(t)=D?-2t+2 とおくと g(土)3 (t-1) +1
1
2*> 0,
->0であるから, 相加平均と相乗平均の大小関係により
2*
2*
=2
2*
1
等号が成り立つのは, 2*=-
2*
すなわちx=0 のときである。
ソ=g()
1
よって t=D2*+
-2
最小
2*
2
以上より,t22において, y=g(t)の
グラフは,右の図のようになり, g(t)は
t=2のとき, 最小値2をとる。
1
0
1
2
ここで、t=D2 となるのは, 2*=-
2*
よって, x=0のとき, 最小値2…答
すなわちx=0のときである。
