今日中には解決したいです🙇 加法定理を用いた、2直線をなす角の問題です。 写真の一番上に問題が書いてあります。 写真の緑線のところ２箇所が、わからないところです。なぜそうなるのか、教えてください🙏🙏

T 2直線y=2x,y=-3xのなす角(0≧0≦ K-4 0 なす角 B-02-B x ACTION 2直線のなす角0は, tan (02-01) の値を利用せよ 2直線y=x, y=2x のなす角が yk y=2x 法の手順 各直線の傾きを,正接を 用いて表す。 ここで tan02=2 tan0=1 右の図のように, 2直線 y=2x, y=-3x がx軸の正の向きとなす角 をそれぞれ 01, O2 とすると tan0 = 2, tanb2 = -3 tan (02-br) = 2 = の角の差の正接の値を 求める。 y=-3x YA 2 - → tan=tan(02-01) の π したがって, 求める2直線のなす角日は0= 4 ey=2x 0₂ 0₂ tand, —tand. -3-2 1+(-3)・2 1 + tan Astan Ar 0<x<2πより, 0 <82-8,<πであるから、この範 囲で考えて B2-B1 = 4 を求めよ。 x tan02-tandu 1+tan02 tand 1312の値を利用しての 値を求める。 0≤0≤ 1/12 0₂-01 > π であるから, の場合は 2 0 = π-(0₂-0₁)

解答真ん中あたりの、式変形のやり方を教えてください。いつも筆算で割り算をしているのですが、それしか方法はないのですか？

例題251 面積の最大・最小〔2〕 ･･･ 放物線と法線 t> 0 とする。 放物線 C:y=x 上の点P(t, P2) における法線を1とする。 法線と放物線Cで囲まれる部分の面積S の最小値とそのときのもの値を 思考プロセス 208 求めよ。 法線･･・ 点Pを通り, 点PにおけるCの接線に垂直な直線。 の構図 公式の利用 68 面積Sは KM Action 放物線と直線で囲む面積は"(x-a)(x-B)dx = -12 (B-α) を用いよ 解y' = 2x より, 法線の方程式は ICの共有点のx座標 α, β を求める。 α, β のうち1つは点Pのx座標t であることに注意する。 y-p= =-2/(x-1) 2t よって - 1/1/72x+²²2 +21/12/2 -x+t²+ 2t 法線と放物線Cの共有点のx 1 1 座標は x² == ²+ 2t よって 例ゆえに y- これは2t 2+x+1²+ - x=t, -t- 42 12/12(1+1/2)-013 (18-01/2+(1+2)= ·x-t²+ = ( x − 1) { x + (t + 1/ 1 )} = 0 より 2 1 2t 1 2t Ve したがって, Sは 1 s = [₁ ₂₁₂ {( - 2²/2 x + ² + ²/2 ) - x ²}dx S= -+- 24/1 2t == -- ₁ (x-1) { x + (1 + 2/1 ) } dx 2t すなわち t = = P t> 0 であるから,相加平均と相乗平均の関係より 3 5 - ²1 (2 + 1)² ² + +-(2√/2 - ) S = 2t+ 2t- 6 2t 2t t= t 2 3 = 1 / { ₁ - ( - ₁ - 12/17)} ² = 1/- (2 t + 2²212) ²2 2t+ 2t 11/12 のとき 最小値 14 3 のとき等号成立。 x 1 2(y-f(t) == 例題244) 点P(t, f(t)) における 法線の方程式は -(x-t) f' (t) lとCは点Pで交わるか ら、この方程式は x = t を解にもつ。 S²(x − a)(x − B)dx = -1/-(6-a³² == Re Action 例題 68 k [X+ ( X> 0) の最小 値は、(相加平均) ≧ (相乗 平均)を利用せよ」

なぜ直線lと平行だから(4+5k)・1-(3-2k)・9=0となるのですか？

例題 84 2直線の交点を通る直線 2直線 4x+3y+2 = 0 ... ①, 5x-2y-3=0･･･ ② の交点を通り, 次 の条件を満たす直線の方程式を求めよ。 (1) 点A(-1,-2) を通る 思考プロセス (1) 素直に考えると･･・･ 直線 ①, ② の交点Bの座標を実際に求め, 2点A,Bを通る直線の方程式を求める。 5 → 点Bの座標が 23 (2) 直線 1:9x+y+3=0 に平行 22 となり、その後の計算が繁雑になる。 23 見方を変える 2直線 ① ② の交点を通る直線の方程式は、 一般に ( 4x+3y+2)+k(5x-2y-3)=0 3 と表すことができる (Point 参照)。 ■ ただし、直線②は表さない。 Action》 2つの図形∫(x,y)=0とg(x,y)=0 の交点を通る図形は,∫ (x,y) + kg (x,y) = 0 とおけ 解 2直線 ①, ② の交点を通る直線は, 直線②を除いて ( 4x+3y+2)+k(5x-2y-3)=0 .. 3 0545 **** とおける。 (1) ③が点A(-1, -2) を通るから {4・(-1)+3・(-2)+2}+k{5.(-1)-2(-2)-3}=0 -8-4k=0 より k=-2 ③ より 求める直線の方程式は 6x-7y-8= 0 (2) ③ + [頻出] (4+5k)x+(3-2k)y+ (2-3k) = 0 これが直線 1:9x+y+3=0 と平行であるから (4+5k) 1-(3-2k) 90 より k=1 ④ より 求める直線の方程式は 9x+y-1=0 直線 ② は, 点Aを通 らず,直線9x+y+3=0 と平行でもないから, (1), (2) ともに求める直線が ② になることはない。 ③にん=-2 を代入し て整理する。 2直線 α1x+by+c1 = 0, a2x+by+c2 = 0 が 平行⇔ab2a2b1=0

(3)で、なぜlog2はそのままなのですか？

例題150 対数関数の導関数 次の関数を微分せよ。 (1) y = log(x²+1) (2) 思考プロセス SHEREHE 題 = xlog(x+√x² +1) (4) y = 公式の利用 (10gx)、 自然対数 = log(x²+1) (UX) (1) y = (2) y = log] tanx (^*µ*) (3) 底が2であることに注意。 (3) y'= 1 x² + tan x Action ≫ 対数関数の微分は,自然対数で表して {log|f(x)}' = log|3x+2| log2 (別解)y' 3 (3x+2)log2 (5) y' = 1 (x²+1)': (tanx) x+21} = = STOCK'S (3x+2)log2 2logx 1 さらに (log|x|)'=- X 1 = log(x + √x² +1) +x • x y = log|tanx (3) y = log₂|3x+2| (log.x)² (5) y = x 2x x² +1 1 tanx = log(x + √x² +1 ) + x. - = log(x+√x² +1) + X² (3x+2)' = (4) y' = (x)'log(x+√x² +1)+x{log(x + √x² +1)}'′ 143 MENAMACHA.jp 1 1 log2 3x+2 1 cos²x X √√x² +1 {(logx)²}' x − (logx)² · (x)′ x² =x-(logx)² (4) y=xlog(x+√√x²+1) (¹) (log x)² x (5) y = 221 1 sinxcos.x (3x + 2)' (x + √x² +1) x+√√x² +1 a 3 (3x+2)log2 x 1+ √√x² +1 x+√√x² +1 2logx-(log.x)2 X² (商) は定数とする。 [頻出] f(x) とせよ tanxcos²x sinx COSX = sinxcosx 底の変換公式を用いて自 然対数で表す。 cos²x At (loga x)' を用いる｡ x = 1 xloga 4章 いろいろな関数の導関数 + (√x³ + 1)² = {(x² + 1) ³y (x² + 1) = ² · (x² + 1)² {(logx)²}' = 2(logx)¹. (logx)' 12

赤い丸が付いているところの質問です！ x=1はf（x）=-x²+x+1とf（x）=x のどちらでも付けていいでしょうか？？

254 例題 137 関数の連続性と係数の決定 x2n+1+ax2+bx+1 x2n+1 思考プロセス 関数 f(x) = lim 11-00 (1) 関数 f(x) を求めよ。 ( (2) f(x) がすべての実数x において連続となるようにa,b の値を定め、 そのときのy=f(x)のグラフをかけ。 x (1) 《RAction r” を含む数列の極限は, r|と1の大小で場合分けせよ例題101 (ア) |x|< 1 (イ) | x>1 (ウ) x=1 (エ) x=-1 に場合分けする。 (2)(1) の結果から,式の形が変わるx=±1 以外では明らかに連続。 「既知の問題に帰着 x = 1, x=-1 での連続性を調べる。 解 (1) x<1のとき 例題 101 《FAction x=α における連続性は, limf (x)=f(a) が成り立つか調べよ例題135) Xa x = 1 において連続 f(x) = lim 72-00 (イ) |x| >1 のとき, lim 11-0 f(x) = lim 11-00 = ax2+bx+1 (ウ) x=1のとき x+ x x2n+1+ax+bx+1 x2n+1 f(x) = f(1) となる lin x 1 x" 2 a-b 2 X² f(x)=a+b+2 a 2n-2 がある。ただし,α, = 0 であるから + 1+ f(x)= x=1の前後で式の形が異なるから limof(x)=limof(x) が成り立つ。 右側極限左側極限 (エ) x = -1 のとき f(x)= (ア)~ (エ) より 求める関数 f(x) は b 2n-1 X² 1 ..2n x² a+b+2 2 a-b 2 + bは定数とする。 1 2n X² =x fax²+bx+1 (|x|<1のとき) ( | .x>1 のとき) (x=1のとき) ( x = -1 のとき) limx" = 0 11-00 I+limx2n+1, lim.xv2" はとも 22-00 に発散し 不定形となる から, 分母・分子を で割る。 (x<[x])== x²n X 1 2n-2 2n 1 x2n-1 (1) f(1)=lim 1+a+6+1 1+1 a+b+2 2 |f(-1)=lim -1+a-bt! 1+1 ·b 2 例題 135 (2) 135 x= すな よー & fr x す よ ととも Poi 関 いい (2 (: 練習

数Aの問題です （2）の（イ）のマーカーを引いている部分がわかりません噛み砕いて教えていただきたいです！ よろしくお願いします🙇

☆☆ 192 B,Cの3部屋に入るとき, 次の場合の入り方は何通りあるか。 (2) 空室はない場合 5人がA, 空室があってもよい場合 We Action 繰り返しを許して並べるときは, 重複順列の数n を用いよ 例題191 → 重複順列(例題 191) (1) 5人すべてが, A, B, C のいずれかに入る。 場合に分ける (2) (1) の場合から, 空室がある場合を除く。 (ア)2部屋が空室 空室がある < (イ) 1部屋が空室 [頻出] titomom 80**** 1部屋に5人全員が入る。 ① 入る2部屋を選ぶ。 ② 5人の入り方を考える。 (ア)と同じ場合が含まれることに注意する。 (1) 5人それぞれが部屋に入る入り方は, A, B,Cの3通 HUL りずつあるから 35=243(通り) 1911 (2) (1)で求めたすべての場合から,空室の数が2つまたは 1つとなる場合を除けばよい。 (ア) 空室が2つのとき (0) OST=!3 5人が入る1部屋の選び方は3通りあり,その部屋に 5人とも入るから,この場合の入り方は 3通り ESSO (イ) 空室が1つのとき 5人が入る2部屋の選び方は3通り (2) 31 そのおのおのに対して、 5人の2部屋への入り方は 25通りある。ただし、この中には,選んだ部屋の一方 だけに5人とも入る2通りが含まれている。 よって、この場合の入り方は 3× (25-2)=90 (通り) (ア),(イ)より,求める入り方は 243- (3+90) = 150 (通り) -{ + 3種類のものから5個と る重複順列。 + 3室とも空室となること はない。 全員が, AまたはBまた はCに入る場合の3通り がある。 AとB, B と CCとA の3通りである。 Point... 部屋割り 人 (n≧3) A, B, C の 3 部屋に分ける場合の数は (空室はない) 2つの部屋にだけ分ける 3つの部屋に分ける 1つの部屋にだけ分ける (1つの部屋が0人 ) (0人の部屋を許す ) (2つの部屋が0人) 3" AとBに入る場合は, 5人ともA, 5人ともB の2通りを除いて 25-2 (通り) AとC, BとCに入ると きも同様。 3(2"-2) }=3"-3·2"+3 && EPIT ある。 6 章 155 順列と組合せ 15

数Aの円順列の問題です マーカーを引いているところが なぜ2P4ではなく4P2になるのかが分かりません 教えていただけたらありがたいです！ よろしくお願いします🙇

父母と息子2人,娘2人の合計6人が円卓に座るとき 190 一部指定の円順列 男女が交互になる座り方は何通りあるか。 / (1) 息子2人が隣り合わない座り方は何通りあるか。 父母が向かい合う座り方は何通りあるか。 (3) 段階的に考える 次の各段階の並べ方は、円順列であるかどうかに注意する。 並ぶ形が円形かどうかではなく, 回転して同じ並び方になるものが含まれるか どうかで判断する。 we Action 隣り合わない順列は,ほかを並べてからその間か端に入れよ 例題136 ← 円順列 (1) ① 息子以外の4人を円形に並べる。 ②間の4か所のうち2か所選んで,息子を1人ずつ入れる。 2① 男性3人を円形に並べる。 ②間の3か所に女性3人を並べる。← (1) 息子以外の4人が円形に座る座り方は (4-1)! 通り す そのおのおのに対して、 息子の座り方は 女 P2通り よって、求める場合の数は (4-1)! ×4P2=72 (通り) 10**** 男性が既に座っているから 体が 円順列でない (3) ① 父の席を決めると,母の席は1通りに決まる。 ② 残り4人を並べる。←― 父母が既に座っているから、円順列でない 1 円順列でない 1 A 隣り合わない息子2人以 外の人を先に並べる。

(１)なぜ ｢よってb＝0｣になるのかが分かりません どなたか教えてください🙏お願いします🙇‍♀️

82 基本例題 46 有理数と無理数の関係 (1)a,b は有理数とする。 a+b√2=0 のとき, 2 が無理数であ 用いて, a=b=0 であることを証明せよ。 (2) (1+√2)x+(-2+3√2)y=10 を満たす有理数x,yの値を求め CHART & T HINKING (1) 直接証明するのは難しいから,背理法を利用しよう。 結論の否定は「キ 60」であるが、この仮定からスタートする必要はない。a+6√2=0 という式 最初の仮定を見極めよう。 (2) (1) の結果を利用する。このとき, 前提条件 について整理して、 「x 解答 (1) b=0 と仮定すると は有理数√2は無理数」を書くことを忘れないよう注意。 OINT a,bは有理数であるから,右辺の1 は有理数である。 左辺の√2は無理数であるから, これは矛盾している。 よって 6=0 a+b√2=06=0を代入してa=0 したがって a=b=0 √2= a b (2) 与式を変形して (x-2y-10)+(x+3y)/20 について xyは有理数であるから, x-2y-10,x+3y は有理数でこの断りは あり 2 は無理数である。 詳しくは右へ ゆえに,(1) の結果から x-2y-10=0, x+3y = 0 これを解いて x=6, y=-2 有理数と無理数 a,b,c,dを有理数, I を無理数とすると 1 a+b√T=0 のとき a=b=0 ② a+b√l=c+d√T のとき a=c, b=d +a+b√2= b√2=-a 両辺をb(≠ √√√2=- ACTION ACE このことか 定は b = 0 ここで, 「a,b,c, dは有理数」 という条件に注意しよう。 この条件が 例えば ① では α = b = 0 以外に α=√I (無理数), b=-1 も a+by を満たしてしまう。

四角で囲んだ部分は、なぜこうなるのですか？ 解説下から4行目です。

例題 182 例題 195 対数関数の最大・最小〔3〕 x≧2, y ≧2,xy = 8 のとき,次の式の最大値と最小値, およびそのと きのx,yの値を求めよ。 (1) (log2x) (log2y) 思考プロセス 文字を減らす (1) 2変数関数 (log2x) (log2y) の最大・最小 解 (1) xy = 8 より の利用 8 (2)yを消去してlogx - とすると,底にも真数にもxが含まれてしまい考えにくい。 x どちらかを定数にできないか? Action》 対数の積・商を含む式は,対数を1つの文字に置き換えよ 8 x≧2, y=- ≧2より x t = y = log2x = t とおくと, ② より このとき (log2x) (log2y)=t(3-t) 8 x (2) logx y = 8 ①より (log: x)(log: y) = (log: x)(log:-) ③ において、 右のグラフより, (log2x) (log2y) は 条件 log₂ y log2x 1文字消去 = .. 1 2 3 9 · - (₁ - 2/2 )² + 2/ 4 ® *), 1/1/1 ≤ 1/2 = ③より, 2 t (2) logxy 2 ≤ x ≤4 = (log2x) (3-log2x) 1≤t≤2 9 4 3 9 すなわち x = y = 2√2 のとき 最大値 2 3-log2x 3 log2x t t = 1, 2 すなわち x=2,y=4 またはx=4, y=2 のとき 最小値2 ≧1 であるから 2 xのみの関数 .. 3 (log2x) (log2y) 1 したがって, logxyは t=1 すなわち x = 2, y =4 のとき t = 2 すなわち x = 4, y = 2 のとき +32 132 3 -1≦2 最大値 2 最小値 t 1 2 (別解) log2x = X, log2y=Yと おくと, x≧2,y≧2ょ り X ≧ 1, Y ≧ 1 …(*) xy = 8 より log2xy = log28 log2 x + logzy = 3 よって X+Y = 3 (*) より 1 ≦ X ≦ 2 (与式) = XY = X (3-X) = -(x - 12/2) + 2/ 以下同様 ■t=log2x= このとき x = 2 ² = 2√2 y= 8 2√2 log2y=log2 3 2 8x 1 2 より 2√2 =3-log2x =1のとき CT のとき

(3)でなぜ「x＞0として」と書いてあるのでしょうか？？？教えてください🙏🙏

例題127 lim f(x)の値 思考プロセス 例題 92 例題 92 例題 94 次の極限値を求めよ。 2x2+x (1) lim x→∞0 xx2+3 X→∞ a lim f(x) は liman と同様に考える。 n→∞ 既知の問題に帰着 x→∞ のとき 《ReAction 不定形 |2x2 + x 2 次式 (1) x2+3 2次式 (3) 不定形∞- ∞∞ (1) lim 2x2+x x →∞ x2+3 40X (2) lim x →∞ 8 8 2x x+x+1 = 8 lim x →∞ (2) = 0, 0 などが使えるように与式を変形する。 30031 の極限は、分母の最高次の項で分母・分子を割れ 8 2 + lim x →∞ 1+ 分母・分子を 有理化する。 lim x →∞ x 3 x² 2x x+√x2+1 0, =2 - 1+ 1+ (3) x →∞であるから, x>0として (√x²+x-x)(√x² + x + x) √√x²+x-x= であるから = lim X→∞ Point 不定形の極限を求める方法 (ア) 2 √√x²+x+x 2 1x 1 |で割る。 x lim (√x²+x-x) = lim √√x² + x + x 2 x →∞ 1 = x 2 1+1 (3) lim(√x+x−x) II 分母の最高次の項で分母・分子を割る。 ((i) 因数分解 =1 √√x²+x+x x→8 LES LL 頻出 dat ★ 例題 92 ∞のとき 分母 →∞ であるから、ここでは, (4分母を有理化せず, 分母・ 分子をxで割る。 1+1+1 分母・分子をxで割る。 k k lim = 0, lim = 0 x →∞0 x 分子を有理化することに より - という形の 8 不定形が という形の 不定形に変形される。 分母・分子をx(>0) で割 る｡ E