(1)なぜ面積の話になるのか教えてください

Check 例題108 図形と極限(1) △AA1A2 を1辺の長さ1の正三角形とし、点 Poを辺A.A. 上に A.Po=2/3 となるようにとり π 点P1 を辺AA2上に,∠PoPiA1= = 17 となるよう +8 π にとる.次に点P2 を辺A2A。 上に,∠PiP2A2= 2 となるようにとる. 以下同様にP3, P4, ......, P, π ...... △AAA2の辺上に∠Pn-1PnAr= 2 (rはnを3で割った余り) となるようにとる. an=Pn-1Pnとする. (1) a1,a2 を求めよ. (3) 数列{an}の一般項を求めよ. (4) 極限値 lima" を求めよ. n→∞ 解答 π (1)=PP=A,Posin 77 3 -1.43-4 √3 √3 2 考え方 an と an+1 の関係を表す漸化式を作る (規則性を探す) ことがポイント. an と αn+1 の関係を考えるのに必要な部分だけ図から抜き出してみる。 = 6 π a2=PiP2=A2P1sin sin =(1-A₁P₁)sin -(1-A.P.cossin π 3 =(1-12 · 1). √ 3 = 32 2 (2) an+1 を an で表せ.10 313_1=05-20 AU π 3 11/√3 /3_5√3 12 Po Ao Ps Po 3 A2 P1 TC 3 A₁ *** P₁ ( 東京電機大 ) 形より, AI △PoAP1 を考える AAA2は正三角 π ZA₁=1/3 同様にAP1A2P2を 考える A1A2= 1, A₁P₁=A₁Pocos π

⑵の問題でy’=0の判別式をDとするとD≦0の関係が成り立つと考えられるのはなぜですか？？

239 関数の増減,極値 (1) 関数 y=-2x3+3x²-6 は, x= x=² で極小値をとる。 + (2) 関数 y=x2+kx2+3x+1 が常に単調に増加するとき,定数kの値の範 囲は である。 で極大値 [ をとり,

10個の乗法公式が何回繰り返しても覚えられません。 いい覚え方あれば教えて欲しいです。

=-4x+13 Check! 乗法公式 1 (x+a) (x+b) = x² + (a+b)x+ ab [3] (x-y)² = x² - 2xy + y² 5 (ax+b) (cx+d) = acx² + (ad + bc)x+bd 6 (x+y)(x² - xy + y²) = x³+y³ [8] (x+y) ³ = x³ + 3x²y + 3xy² + y³ 9 (x-y)³=x³-3x²y + 3xy²-y³ 10 [2] (x+y)² = x² + 2xy + y² [4] (x+y)(x-y) = x² - y² [7] (x−y) (x² + xy + y²) = x³-y³ (x+y+z)² = x² + y² +2²+ 2xy + 2yz +2zx

どこからこの式が出て来たのか教えてください。

Check 例題100 はさみうちの原理 (3) 次の極限値を求めよ。 2n 1 {n ², (2k-1)(2k +1) J k=n (1) lim nΣ. 考え方 (1) 解答 1/ 1 1 (2k-1)(2k +1) 22k-1 2k+1/ 22= 1 -1/21zn 4.0 2 2n-1 よって, 2n 2n (1) 2 x (2k-1)(2k +1) = 2,² (2k-12k+1)== k=n k=n = 2²-|(27²-1 = よって, (2) k≥1 0²³, 0<-¹-(4k²-1)<k²<k²+k C$3h³>5, R²+k<²<4k²_1 *", k(k+1)<²< (2k-1)(2k+1) が導かれる. 11 1_ [ + [×]> 4 ここで, 1 4n+1, lim n n→∞0 - lim 2 n00 (2) lim (nΣ n (₂2 2n 2n+1)+(2n+1=2n+3)+...+(₁²-1-an²+1)} 2n n Σ k=n (2k-1)(2k+1) 2 n18 1 n 12100 4+ 1 2n 1 n (2)≧1より、0<-(4k²-1)<h² <k+k k=nk² と部分分数に分解する. n n- 2 =lim < -1/2 (12-1) = 1/2 22 1 2n-11 2n-1 +1 70²5 が成り立つから, 4 << </²-12"). k(k+1)< < (2k−1)(2k+1) つまり, k²+k 4k²-1' k² 2n 1 1 2n k=nk(k+1) k=nk2 k=n (2k-1)(2k+1) 2n 2n lim n {nak (k+1)} =lim {n 2 (2 - x+1)} D n18 n-00 k=n k k- 1 n {(= n+₁) + (n+₁_n+ ₂) +... +….....+ =lim n 2n+1)-1-1/2=1/12/0 n18 n 2n 2n *tc, n², (2k-1)}(2k+1) = 4• n 2₁ (2k-1)(2k+1) k=n k=n *** (東京理科大) 2n 4 1 8 (1)の結果を用いると, lim {n 2 (2k-1)(2k + 1)} = 4 · n→∞ 1 4n+1) 8 +(2n-2n²+1)} 9₁ 1 2 - 1 2n (n よって, ①,②,③とはさみうちの原理より. him (22)=1/1/2 k=n k² 818 3

(2)の最後でuからxに変えるときにそのままuをxにするのは何故ですか？2x=uを代入するのではないんですか？解説お願いします🙇‍♀️🙇‍♀️

Check 定積分で表された関数(1) 例題251 次の条件を満たす関数f(x) を求めよ. f(x)=ex-Sof(t)dt (1) (関西大) Sof(t)dt=k(kは定数)とおく。 考え方 (1) 「定積分の積分区間の上端も下端も定数のとき, その定積分の値は定数」であるか ( 2 )積分区間の 2x を uとおいて考える. f(x)=e-Sof(t)dt (1) ......① Sof(t)dt=k(kは定数)とおくと ......3 解答 SPATH DIY, f(x)=e* -k これを②に代入すると, (土 Sle-k)dt-[e-kt-e-1- Focus k=e-1-k より,k=e-1 2 Sof(t)dt = xex に代入すると, Sof(t)dt = -1/ue 両辺をxで微分して, (2) f(t)dt=xe f(u) = 1/3 e + + 1/2u(-1/2) e 2 = (2-u)e- C2x よって, f(x)=1/12(2-x)-葦 SOUSVESISTOR 分と微分 区分求積法 したがって, よって、③より、f(x)=end ワー f(x)=ex_e_1 2 (2) 2x=u とおくと, x=- -u より, 35600) f(x)=e*-'f(t)dt +xfof(t)dt (久留米大) ** (関西大) f(x)=e*-k || k 次のようにしてもよい。 S²* f(t) dt =F(2x)-F(0)=xe-x xで微分して, 2f (2x)=e^x-xe-x f(2x)=(1-x)e-* 2 2x=t として, |f(t)=- よって, 練習 次の条件を満たす関数f(x) を求めよ。 (2) はαの値も求めよ. 257 (1) (1-x²) S*f(t) dt=Sx²f(t) dt (2) Sof(t)dt=xe+xff(t)dt (1-1) + e 2 (J33AFJJSBXON(x)= (2-x)e¯ž 4 Sof(t)dt=(定数). Sof(t)dt=0, axSf(t)dt=f(x) 535 •p.567 24 25 第7章

解説付きで教えてください！

CHECK rch (ア) 左辺を(実数) sch (イ) A>Bの証明 基本事項 1 ② 実数の性質(基本事項②) +(実数)の形にする 9 (1) 次の不等式を証明せよ。 また, 等号が成立するのはどんな場合か述べよ。 xとyが実数のとき, (イ) x>0 かつy>0 のとき, √2(x+y)≧√x+√y x 2-4x+y2+2y+5≧0 [龍谷大]

(1)は場合分けする必要あるんですかね？ 教えてください🙇‍♀️

Check 例題 35 同一直線上にあるための条件円園 (1) 複素数平面上において, 3点P(-1), Q (iz), R (22) が同一直線上に あるための条件を求めよ。 085-8p+a (8- (津田塾大) (2) 複素数平面上で、異なる3つの点 α, B, y が同一直線上にあるため の必要十分条件は aβ + By + yα が実数となることである。これを 証明せよ。 考え方 複素数平面上の異なる3点A(a), B(B), C(y) について, また, (1) は場合分けにも注意する. y-a B- (2) play が実数 B-a ケア ■解答 (1) A, B, C が同一直線上にある⇔y-a=k(β-α) (kは実数) (2) r-aが実数 B-a を利用 栄双 SACTION iz = -1, つまり, i のとき, 22=-1=iz となる. よって, 3点P, Q, R は一致するので, 同一直線上にある. (イ) izキー1 のとき, 3点が同一直線上にある条件は, なることである. 2²-(-1) = iz-(-1) 1+iz 0 MOSEL 古鎖し *** 2²−(−1) これが実数となる条件は, 2=0 またはが純虚数 よって, (ア), (イ)より。 z = 0 またはが純虚数 思たる? ( 1 が実数と iz-(-1) z'+1_(z²+1)(1-iz) (z²+1)(1-iz) (1+iz)(1-iz) 1+22 -=1-iz 第1章

(2)の始めの部分の説明が分かりそうで分かりません。 別の言葉で説明して欲しいです。🙇‍♂️

04 第1章 複素数平面 Check 例題22 単位円に内接する正多角形 複素数平面上において, 原点Oを中心とする半径 1の円に内接する正六角形の頂点を表す複素数を, 左回りに 21 22 23, 24, 26, 26 とする。 また、a=cosisin / とする､ このとき、次の問いに答えよ。 (1) 21+2+2+2+2+26 の値を求めよ。 (2) (1-a) (1-ω°) (1−ω^) (1−ω^) (1-α)=6 であることを証明せよ。 点 1,2,...... 26 は単位円周上の6等分点である。 点21を原点○のまわりに、 -π, 2 3'3 26 に移る(p.54 例題 19注〉> 参照) (1) Z1,Z2, ...... 26 は単位円周上の6等分点である. また、acosisinは,点z を原点Oのまわり に今だけ回転させる複素数であるから, 22=a21 23=0z2=Q2z1 26=025=0521 となるので, 21+22+23+2+25+26 1文字 +z+α2z1+°z+αz]+α°21] …....① ① は,初項 21, 公比 α の等比数列の初項から第6項ま での和である. α=1 より, となる. zi+z2+2+2+25+26=- ここで, -(cos+isin) =cos 2π+isin 2π =1 conisin / よって、 26 = 1 が2-1=0の解となる. 21+22+23+4+25+26= 0 (2) (1)より,@は1の6乗根の1つであり、 1, la, la, la, la, las 6分 よって, _2₁(1-a) 1-a 24 zna (半径121の円6等分 5 だけ回転させると、それぞれ y 0 ④文字減らし!! 2月 初項 公 (1) の等比 の初項から第 までの和は、 zi(1-a") 1-a p.54 例題 19 注》参照 Focus 練習 22 ***

写真★の部分、計算の仕方を教えてください。 3文字あるのであと1式必要ではありませんか？ 2枚目は拡大写真です。

第04 第10章 空 " Check X 例題 397 平面の方程式の決定 直線ℓ:x-1=1 を含み, 点A(1,-2,3)を通る平面 2 の方程式を求めよ. 考え方 一直線上にない3点を通る平面はただ1つ決まるから、直線l上に適当なえたい その2点と点Aを通る平面の方程式を求める. |解答 x=1,x=0 として,直線ℓ上の2点B(1,1,-1), C(0, -1, 1) を定める. 一直線上にない3点A, B, C を通る平面上の任意の点 をP(x,y,z)とする。平面のベクトル方程式 AP=sAB+tAC (s,t は実数)が成り立ち, AP=(x-1,y+2,z-3), AB=(0, 3, -4), AC=(-1, 1, -2) であるから, (x-1,y+2, z-3)=s(0, 3, -4)+t(-1, 1,-2) よって, z+1 2 x-1=-t,y+2=3s+t, z-3=-4s-2t これより,s,t を消去すると 2x-4y-3z=1 平面の式 Q n⊥AB より, n・AB=36-4c=0 LACより, これよりその1つは, ④点Al (別解) x=1,x=0 として,直線ℓ上の2点 B(1, 1, -1), C (0, -1, 1) を定める また、平面αの法線ベクトルを n = (a,b,c) (n=①) とする. AB=(0,3,-4), AC = (-1,1,-2) だから、もよい。 なお、点Aのほ 線上の適当なさ とればよい n・AC=-a+b-2c = 0 a=2,b=-4, c=-3 したがって、求める平面の方程式は、法線ベク トルが =(2,-4,-3)で,点A(1,2,3) を通るので, い直線上にないる点 x=1,2などでも ○平面上の点Pの関係式 ((A,B,C含む) ゴl上の点B.Cとする tAC la A SAB 2(x-1)-4(y+2)-3(z-3)=0←←法線クトル通る よって, 2x-4y-3z=1C 求 平面の方程式 平面αの式を ax+by+cz=1 とおき、平面のを 点の座標を代に 例題 「考え方 解答 2 練習

FOCUSGOLDIII85(1) マーカーの部分、二乗したら同値性保つために2-x≧0を示さなければいけなくないですか？ 答えの式が2-x≧0を満たしていることをどう示せばいいか教えてください。🙇‍♂️

第2章 式と曲線 Check 例題 85 極方程式(2) 3 (1) 極方程式 (1+1 3 考え方 解答 (小樽商科大 ) (2) αを正の実数とする. 極方程式r=4cos (a-b) は円になること を示し,その中心の直交座標と半径を求めよ. cos o “極座標 直交座標” の関係 r2=x2+y2, rcos0=x, rsin0=y を利用する. (1+2/3 cost) = 2.3より. = r+√3 roos8=2√3 V 2 √√x² + y² + -(0-0) 205 これに,r=√x2+y2, rcos0=x を代入すると, √3 2√3 3 3 両辺を2乗すると, 3√x² + y² =√√3(2-x), よって, -x= 9(x2+y2)=3(2-x)2 2x2+4x+3y²=4 (x+1)2y2 2√3 3 + =1 32 (2)=4cos(a-0)より、 したがって, r=4cosacos0+4sinasin0 = 両辺にを掛けると, を直交座標の方程式で表せ. x2+y²=4cosa x+4sina.y 8031 r2=4rcosacos0+4rsinasine chic, r² = x² + x², rcos0=x, rsin0=yt 入すると, (x2-4cosax)+(y²-4sina・y)=0 (x-2cosa)+(y-2sina)2=4cos'g+4sin² (.). (onies o *** of 極座標と直交座標の関 係 M r2=x2+y2,y>0 よ r=√x² + y² 2(x+1)²+3y²=6 でもよい。 加法定理 極座標と直交座標の関 係