二次関数の最大最小を求める時に、 Xの範囲を元に考えていく場合とXの範囲の中央値を元に考えていく場合があると思うのですが、使い分け方が分かりません教えてください！！

例題71、解き方を見ても分かりません。 丁寧に解説説明していただけたら幸いです

例 79 2変数関数 x,yが実数の値をとりながら変化するとき! P = x² − 4xy+5y² + 2x-2y+7Laki 思考プロセス 魚 円千 の最小値,およびそのときのx,yの値を求めよ。 例題 77との違い 見方を変える fxとyの関係式がないから, 1文字消去できない。 lxとyがそれぞれ自由に動くから考えにくい。 nime KONZO5NES SOJORT ① yをいったん定数とみるxの2次関数 P=x2+(yの式)x+(yの式) (yを固定する) の最小値をyの式で表す。 ② yを変数に戻す ( v を動かす) Action>> 2変数関数の最大・最小は,1変数のみに着目して考えよ Pをxについて整理すると (= 24-09 =(yの式)の最小値を求める。 P=x2-4xy+ 5y2 + 2x - 2y +7 =x2-2(2y-1)x + 5y² - 2y + 7 ={x-(2x-1)}2-(2x-1)2 +5y2-2y +7 = (x-2y+1)2 + y^+ 2y + 6 = (x-2y+1)2 +(y+1)^-1 + 6 = (x-2y+1)2 + (y + 1)2 +5 - x, y は実数であるから (x-2y+1)^ ≧0, (y+1) ≧0 よって (x-2y+1)^2+(y + 1)2 + 5 ≧ 5 等号が成り立つのは のときである。 これを解くと したがって, Pは x-2y+1=0 かつ y +1 = 0 201 x = -3, y = -1 25. x=-3, y = -1 のとき 最小値 5 1:0A xについての2次式とみ 平方完成する。yは 定数とみて考える。 yを定数とみたときの最 ①･･小値m は m= = y2 + 2y + 6 dioni この最小値を考えるため, さらに平方完成する。 ( 実数 ) ≧0 2 1030 Pの2つの()内が 0のとき, 最小値をとる。 (x−2y+1)² + (y+1)² +5 || || 0 y+1=0 より y = -1 これを x-2y+1 = 0 に 代入してx=-3 ■int…. 実数の性質 X,Y が実数の値をとりながら変化するとき, X' ≧ 0, Y2 ≧ 0 であるから, X2+Y2≧0が常に成り立つ。 また,X2+Y2=0 となるのは,X=Y=0のときに限られる。身 (実数) ≧0

（2）の（ii）の解説の、（よって、h（x）は、）からのところどういう事ですか？何でそうなるんですか？🙇🏻‍♀️

4 【選択問題 数学 Ⅰ 2次関数 ( 2次関数の最大最小)】(配点50点) (1) 2次関数 y=x2-4x+1 について考える. (i) y の最小値を求めよ。 また, そのときのxの値を求めよ。 におけるyの最大値を求めよ. (i)aを正の定数として, 0≦x≦a におけるyの最大値をMとする. M を α の値 で場合分けして求めよ. (2),g を定数とする. xの2次関数f(x), g(x) を, f(x)=x2-4x+1,g(x)=-x2+px+q とする. y=g(x)のグラフは, y=f(x) 上の2点 (1,-2),(5,6) を通る. (i) p, g の値をそれぞれ求めよ. さらに,h(x) , (f(x) (x≦1のとき), h(x)=g(x) ( 1 <x<5のとき), lf(x) (5≦xのとき) とする. (i) h(x)=1 となるxの値をすべて求めよ. (ii) aを正の定数として, 0≦x≦aにおけるん (x) の最大値をLとする。 Lをαの 値で場合分けして求めよ.

二次関数の最大最小の場合分けについてです。 なぜ、このように場合分けできるのか理解できませんm(_ _)m また、aの定義域の考え方も教えてください。

CH HART OLUTION 定義域の一端が動く場合の2次関数の最大 最小 軸と定義域の位置関係で場合分け・・・・・・[] 定義域が 0≦x≦a で あるから 文字αの値 が増加すると定義域の 右端が動いて,xの変 域が広がっていく。し たがって、αの値によ [1] 軸が定義域の 中央より右 +軸 最大 定義域 の中央 軸 区間の 区間の V=V=U 右端が 右端が 働く 動く x=0x=a [4] 軸が定義域 の外 って、最大値と最小値をとるxの値が変わるので場合分けが必要となる。 (1) y=f(x)のグラフは下に凸の放物線であるから、軸からの距離が遠いほど yの値は大きい (p.100 INFORMATION 参照)。したがって, 定義域 0≦x≦a の両端から軸までの距離が等しくなる (軸が定義域の中央に一致する) ようなαの値が場合分けの境目となる。 {21 軸が定義域の 中央に一致 最大 x=0 最小 定義域の両 端から軸ま での距離が 等しいとき 最大 定義域 の中央 x=a 15} 軸が定義域 の内 x=0 [3] 軸が定義域の 中央より左 輪 (2) y=f(x)のグラフは下に凸の放物線であるから、軸が定義 xa に含 まれていれば頂点で最小となる。したがって,軸が定義域 0≦x≦a に含まれ るか含まれないかで場合分けをする。 最小 X=6 最大 定義域 中央

二次関数の最大最小の問題です。写真のマーカーしてあるところですが、1と2も含むとなってますが、1と2を含んでしまったら最小値が変わってきてしまうと思うのですが、なぜこうなるのか教えてください🙇‍♀️

例題18 aは定数とする。 関数 y=x²-4x+3 (a≦x≦a+1)の最小値を求 めよ。 指針 解答 小島 軸 x=2 が [1] 定義域の右外 [2] 定義域内 のいずれにあるかで場合分けして考える。 y=x2-4x+3=(x-2)²-1 x=2のときy=-1 [1] a +1 <2 すなわち α<1のとき x=a のときy=α²-4a+3, x=a+1 のときy=(a-1)2-1=α²-2a, [2] a≦2≦a+1 すなわち 1≦a≦2のとき x=2で最小値-1 [3] 2 <a のとき [1] | y a 27 ! a+1 x=a+1 で最小値 α²-2a x=α で最小値 α²-4a+3 [2] | y x O [3] 定義域の左外 a a+1, 1 18 a fare 6 [3] y V 2a/a+1. x 08g

関数の最大最小求める(3)の問題です。どなたか解説お願いします🙏🙏

□ 271 次の関数の最大値、最小値を求めよ。 また, そのときの0の値を求めよ。 (1) y=sin 0-2 (0≤0<2π) *(2) y=3 cos 0+1 (0≤0<2π) *(3) _y=2sin0-1 (0≤0≤ 17t) (4) y=-tan0+1 (-es)

数学の二次関数です。 1枚目が問題で2枚目が回答なんですが、(1)の最大を求める時は中央値2分のaを求めているのになんで(2)の最小を求めるときでは中央値は要らないんですか？？

2 OOO00 本例題 61 定義域の一端が動く場合の関数の最大·最小 は止の定数とする。0<x<a における関数f(x)=x*-4x+5 について (1) 最大値を求めよ。 (2) 最小値を求めよ。 基本 62,63 Ib.97 基本事項 2, 基本 58 SA

赤で囲ってある所がなぜこうなるのかわかりやすく説明してほしいです。数1の知識で分かるようにお願いします 🙇‍♀️🙇‍♀️😭

重要 例題119 2変数関数の最大最小 (4) 実数 x, yがx+y。=2 を満たすとき, 2x+yのとりうる値の最大値と最小値を 求めよ。また,そのときのx, yの値を求めよ。 【類南山大) 基本 98 指針> 条件式は文字を減らす方針でいきたいが,条件式x°+y°=2から文字を減らしても, 2x+yはx, yについての1次式であるからうまくいかない。 そこで,2x+y=tとおき, これを条件式とみて文字を減らす。 計算しやすいように y=t-2x として yを消去し,x+y?=2 に代入すると x?+(t-2x)=2となり, xの2次方程式 になる。 この方程式が実数解をもつ条件を利用すると, tのとりうる値の範囲が求められる。 実数解をもつ-→ D20 の利用。 3章 13 CHART最大·最小 =Dt とおいて, 実数解をもつ条件利用 2 次 解答 2x+y=tとおくと これをx+y°=2に代入すると ソ=t-2x の 実数 a, b, x, yにつ いて,次の不等式が成り立つ (コーシー·シュワルツの不 参考 式 整理すると このxについての2次方程式②が実数解をもつための条件は, 2の判別式をDとすると x+(t-2x)°=2 5x-4tx+?-2=0 等式)。 (ax+by)<(a'+b6)(x+y') [等号成立は ay=bx] 2) D20 a=2, b=1を代入すると ここで 4 2=(-2t)°-5(P-2)=-(?-10) x°+y°=2 であるから (2x+y)°<10 D20から これを解いて t?-10<0 ー/10 Sts/10 よって -10 2x+yい/10 (等号成立はx=2yのとき) このようにして,左と同じ答 えを導くことができる。 -4t_2t t=±/10 のときD=0 で,②は重解x=- 2-5 -をもつ。 2/10 t=±V10 のとき x=± 5 10 のから y=± 5 (複号同順) したがって x= 5 2/10 V10 ソミ のとき最大値V10 5 2/10 10 x=ー 5 のとき最小値 - V10 5 ソミー

線を引いたところはなぜ変える必要があるのですか？ そのままじゃダメなんですか？？

205 基本例題135 三角関数の最大最小 (2) のの○○ 次の関数の最大値と最小値を求めよ。 また, そのときの0の値を求めよ。 (1) y=sin0+v3cos0 (0s0<2x) (2) y3sin0-cos0 (xS0<2x) 基本 133,134 CHARTOSO OLUTION asin0 とbcos 0を含む式 合成が有効 左辺をrsin (0+a)の形に変形して考える 0+aのとりうる範囲に注意して, sin(x+a) のとりうる範囲を求める。 解答) Isin で合成 (1) y=sin0+3 cos032sin(0+) 2 0s0<2x のとき 0+< *1周するので よって, sin(0+)がとる値の範囲は 1Ssin(0+号)1 4章 号)1 であるから -25y%2 0+号- 0+号-すなわち 0= で最小値 -2 -1Ssin(0+ 77 ゆえに すなわち 0=で最大値2 (2) y=sine-cos0ー/Z sin(0-) 元S0<2元 のとき *sin で合成。 よって、sin(e-)がとる値の範囲は -1aa(0-)方 ー/2Sy%1 → 1周しないため ー15sin (0-号)11 ゆえに とならないので注意。 したがって 0-4= すなわち @=x で最大値1 0-チ-号 すなわち 0=-x で最小値一/2 に|m k|m

(2)は相加平均と相乗平均を使うことによってなぜ最小値は分かるんですか？

重要例題)150 指数関数の最大 最小 (2) 酢 O OO00 ソ=9*+9-*-3'+x_3'-x+2 について (1) t=3*+3-x とおいて, yをtの式で表せ。 (2) yの最小値と,そのときのxの値を求めよ。ち 基本144,16 CHART OLUTION a*+a-2x, a*+a-* の関数の最大最小 おき換え [α+a-*=t] でtの関数へ 変域に注意。 (2) tの変域は, 3*>0, 3-*>0 であるから,(相加平均)2(相乗平均)を利用 て求めることができる。 yはtの2次式で表され, 2次関数の最大·最小の画 MOM 題に帰着。 解答 *+a? =(a+a-}}-2a =(3*+3-*)?-2=ピー2 3'+x+3'-x=3(3*+3-*)=3t y=-2-3t+2 y=t-3t =(a+a"}-2 よって ゆえに (2) 3*>0, 3-*>0 であるから, 相加平均と相乗平均の大小関 係により 等号は, 3*=3-X すなわち x=0 のとき成り立つ。 合 (相加平均)2(相乗平均 a>0, b>0 のとき atbz(ab 3*+3-*22/3*.3-*=2 2 も a=b のとき等号成立 2次式は基本形に変形。 よって t22 また ソ=P-3t 9 ソー-3t (t22) 参考 y=3*+3-* のグラブ 4y=3+3- 2 4 を t22 の範囲において, yは t=2 で最小値-2をとる。 t=2 のとき よって,yは 3 22 x=0 くなく一 -2 9 「最小 1 ソ=31 =0 で最小値 -2 ソ=3* 3612 をとる。 0