写真の赤い矢印の部分で、なぜt=tanθと置くのでしょうか。置換積分をしているのはわかるんですが、式を見たときに何を何に置換したらいいかが分からないため、t=tanθと置く理由が分かりません。

1-1であるから したがって a=1+(1-1)cos0 =(1-1)(2+sin0) '+83=1+(1-1)cos02+(1-1)92+sin0)? =12+2(1-1)cos0+(1-1)² cos² 0 +(1-1)(4+4sin0 + sin 20 ) =125(1-1)2+24(1-tcoso +4(1-1)²sin 0 =22sin-cos0 +3) 2 24sin-cos0 + 5 ) + 4sin 0 +5 20として, R (a, β, t), S(0, 0, t) とする。 立体を平面 z=t で切った切り口は,半径RSの円で あるから、立体の体積Vは V==√ RS²dt = √ (a² + ß³)dt xf {22sincoso+3)2 よって 1+12 ゆえに Jo 1+1 + do 1+tan' cos¹ -S [ローテ (2) 与えられた不等式の定める立体をAとする。 与えられた不等式から x2+y'slog2log(1+27) ...... ① ①を満たす実数x, yが存在するための条件は log2log (124) 20 すなわち log(1+2) ≦ log2 底は1より大きいから 1+222 よって, zのとりうる値の範囲は 立体 A を平面 z=f(-1 18 口を表す関係式は 中 24sin0 -cos0 +5)t + 4sin0 +5)dt 2sincos0 +3) ー(4sino-cos0 +5)+(4sin0 +5) nino masino 4sin02cos0 +6-12sin0 + 3cos0-1512sin+15) るす (4sin+cosO+6) (3)(2)から V= '=zg(√17 sin(0 + A) +6) 1 ただし sin A=- 14 = cos A=- √17 √17 √17 CASP QがC上を1周するから, sin (0+A) のとりうる値 の範囲は -1sin(0+A)≤1 1)で切ったときの切り x+ylog2-log (1+t), z=t ゆえに、切り口の面積を S(1) とすると S(t) == (log2-log(1+1)) 立体 A は xy平面に関して対称であるから, 求める 体積をVとすると v=25's(nat V= == 2 (10g2-log (1+1))dt =2m[tlog2]-2=[flog(1+19]。 +2= 12 21 土・ dt 1+12dt =2mlog2-2xlog2+4xo1fades よって、体積Vの最大値は 6+ - T, 最小値は 3 =4x -dt 6-√17 ーである。 A 3 したがって,(1)からV=4(1-4)=14−8) 237 体積 238 体積 出題テーマと考え方 出題テーマと考え方 不等式の定める立体(領域)の体積 立体の存在範囲を調べて, 平面 z=t で切ったと きの切り口の断面積をの関数を表す。 質を関数 線分が通過してできる曲面の回転体の体積 (2) 曲面Sの平面 x="での切り口の面積をもの 関数で表す。 12 (1) dt= 1+12 (1) 平面 x=uで考えると, 右の図のようになる。 2 (x=N) Sa=[=1 点0'(1, 0, 0)から線分 1 PQ までの距離を1とし Q △PQO′の面積を考える と, PQ=1から 1.1.1 = √1-u² JP 0 # 1 y l="√1-u2+ホースリー t=tan/ (002) とおくと t 0→1 1 -do 0 0-> COS20 H4 2 よって

写真の、ピンクの線を引いた箇所で、 （2）より、ベクトルOP＝7/9ベクトルOQとありますが、どうやってそこに辿り着くのかがわかりませんでした。考え方を教えていただけませんか。🙇

考え方 (3)AQQB, OP:PQ をそれぞれ求めよ。 思考プロセス 見方を変える 線分 AF 上にある 題 23 交点の位置ベクトル [1] [5] 出 ★☆★☆☆ △OAB において,辺OAを2:1に内分する点をE,辺OBを3:2に内分 する点をFとする。また,線分AF と線分 BE の交点をPとし,直線OP と辺 AB の交点を Q とする。さらに,OA = 4, OB=6 とおく。 (1) OP を用いて表せ。 (2), を用いて表せ。 ma 24 (2)点Qは直線 OP 上の点であるから (-1) 4 1 -ka+ kb ... 3 OQ=kOP とおける OQ= (1-u)a+ub ...④ A AC 3点 0,P,Qが一直線上 BA にあるOQ=kOP また, AQ:QB=u: (1-u) とおくと a = 0.6 0 であり,とは平行でないから, ■係数を比較するときに は必ず1次独立であるこ とを述べる。 TO+AOR an ③ または ④に代入する。 音 3 1 ③ ④ k=1-u かつ k = u 3 9 3 これを解くと k = AO u= 7' ⇒ 線分AF をs (1-s) に内分するとする。 AME noiA 4- 3 平面上の位置ベクトル (1) P OP = (1-s)+s¯ =℗a+® b 線分BE上にある点に対する位置が よって 0Q = a+ -b 7 OP 4- 1 = a+ b 9 3 1次独立のとき (別解〕点 Q は直線 OP 上の点であるから 4a +36 OP= (1-1)+[ 線分BEをt (1 - t)に内分するとする。3=3 9 OQ = kOP=ka+kb ... 3 7 4a+36 = × 9 7 直線 OP 上にある とおける GA+DAS を 再 と変形して考えてもよい。 (2)点Q OQ=kOP = a+b 線分AB上にある JA 4 1 例題 25 参照。 点 Q は辺 AB 上の点であるから -k+ k = 1 1次独立のとき 9 3 ⇒ 線分ABをu: (1-u) に内分するとする。 ⑦ 9 4→ 3 k = より, ③ に代入すると OQ = (1-u)+u] = @a+@b Action» 2直線の交点の位置ベクトルは, 1次独立なベクトルを用いて2通りに表せ Fa+ J 7 14:9/7 7 点Qが直線AB上にあ 11-90 ⇔OQ=sOA+tOB (s+t=1) (3)2 AG 上にあるから JEDAQ:QB = 3 4a+36 =3:4 Q= 2- 5 (1) Eは辺 OA を 2:1 に内分す る点であるから OE=330 点Fは辺 OBを3:2に内分する Es Fenitory 点であるから OF = 2 3 F 7 ② ABCのAおめ (1- また,(2)より OP = -O 7 40A+ 30B P 3+4 9 Q ① B より点 Qは線分ABを F -SP ES OP:OQ = 7:9 となるから OP:PQ = 7:2 3:4に内分すると考えて もよい。 A M.Q AP:PF=s:(1-s) とおくと AB 点Pを△OAFの辺 AF の内分点と考える。 Point... 1次独立であることを述べる理由 OP-(1-s)OA+SOF = (1-s)a+sb 0 5 BP:PE=t:(1-t) とおくと ・ ① A ① ② より 2 1-s=' 241 これを解くと 5 2 t 4- よって OP = 1 + b 9 3 10 OP= (1-10B+108=1/214+(1-1)6 06=0であり,ことらは平行でないから t かつ 1s すると、もう一方に E ... 2 3 REST 点PをOBEの辺BE の内分点と考える。 F B 例えば, a = 0 のとき,2a+365a+3 が成り立つが、両辺のαの係数は等しく ない。 また, a = 26 (a としが平行)のとき,2a+56=3a+36 が成り立つが、両辺 のαの係数は等しくない。 このように,または6=0 または a / bであるときは, 係数が等しくならない 場合があるため、 ≠ 0 6 = 0, a と b は平行ではない」ということを述べている。 s=1-t 係数を比較するときに は必ず1次独立であるこ とを述べる ①または②に代入する。 ができるの 点をQとする。さらに, OA = 4, OB = を用いて表せ 2 0 練習 23 OAB において,辺OAを3:1に内分する点を E, 辺OBを2:3に内分する 点をFとする。 また, 線分AF と線分BEの交点をP, 直線 OP と辺 AB の交 AO(-1)-90 おく。 Jet

正八角形という情報しか与えられていなくて、△AHI二等辺三角形になる理由を以下に書きましたが合っていますか。 外角は360 ÷ 8=45度 角IABは90度であるから(90度説明はどうやってすればいいのでしょうか。) 180 − (90 +45)= 45度

F E B G H J K D C ↑ b A a B

一対一対応の数2の積分の問題で、(3)について質問したいです。 a≧1の時に増加するの意味が分かりません。 また、なぜ0≦a≦1の時に微分をして極小値を求めたら最小値が求まるのかも意味が分かりません。解説してもらいたいです😭お願いします😭

3 定積分関数/区間固定型 —— 0以上の実数aに対して,I(a)=faldr とおく。 (1) a≧1のとき, I (α) を求めよ. (2) 0≦a≦1 のとき, I (α) を求めよ. (3) I (α) の最小値を求めよ. (神戸大文系-後/一部変更) 積分変数以外は定数 積分計算において,積分変数 (dr と書いてあったらェ) 以外は定数である. Sュー☆ではaは定数つまりS|-4|dr [a=2の場合] のようなものだと思って, O2と同様に絶対値をはずして計算すればよい。 αの値を決めるごとに☆の値が決まる,ということが 理解できれば 「☆はαの関数意味でI(α) と書いてある」こともわかるだろう. 解答 1(a) = f (a²-r²) dr-[4-3³] (1) 4≧1のとき,0≦x≦1でrd'≦0 だから dx= y=(x+a)(x) T Y y=x²-a² <y=x²-a² l£x=ax =a²- 1 3 気をつける 01 a/ だから, (2) O≦a≦1のとき|r-q2}={a°」? (O≦x≦a) y=x-a lx²-a² (a≤x≤1) YA y=x²-a² 1(a)=√ª (a² — r²) dx + f (x²-a²) dx 0 1 48 = x³ a 3 3 14 +a2x· 3 a3 4 3 1 3 るので, x=αが積分区間 x=0~1に含まれるかどうか (つ まり, 0≦a≦1かどうか)で場合 わけをする.この例題では≧1, 0≦a≦1 が与えられているが,こ の場合わけは自力でできるよう にしておきたい。 ( ←第2項の積分区間の上端と下端 を入れかえ、被積分関数を -1倍. (220) (1) (S232 \) (3) a≧1のとき,(1)よりI (α) は増加する. 0≦a≦1のとき,(2)よりI'(α)=4a2-2a=2a (2a-1) であるから, 増減は右表のようになる. よって, 求める a 0 I'(a) 最小値は 1(1/2) 41 1 1 2-3+4 + = 38 4 3 12 I(a) 1/2 1 + 0 4 - (2)\

(2)の矢印の変形を教えてください。

り (2) √ √^² = |A³ |²/Ad/² sin² o EVE = /AP/²/AQ |² (1-1030) ↓ = /AP/²/AQ|² - (AP-AQ) 2 = a * (1+ taux) (1+ tans) - a&tand tanp = 4 a" (1+ tan² + tan²ß 2 N = a²√1 + tan²α + fan²ß S

ここの式がなぜ3/2なのか分かりません。 三角形EABが3/2ABCという表現なんだろうなとは思うんですが、どこから3/2が来たのかがわかりません。教えてくださいm(_ _)m

点をFとする。 △ABCの面積をSとするとき、次の三角形の面 153 △ABCにおいて, 2辺 AB, CA を 1:2に内分する点をそれぞれ D, E とし, 線分 DE の中 。 積 をSを用 いて表せ (1) △FAB A 13 FAB

(3)の積分の計算をお願いしたいです。 立式は合っているはずなのですがどうしても計算が答えと合いません。答えは12√3です。 よろしくお願いします🙇‍♀️

媒介変数表示x=sint, y=cos(t-1) sint (St≦*) で表される曲線をCとする。 (1)dx=0または -= 0 となるtの値を求めよ。 dt (3) Cy0 の部分と軸で囲まれた図形の面積を求めよ。 (1)dx at da dt = cost de - One+ 1 = 1 dt=0のときに匹 2, y= - } sintok (2) Cの概形をxy 平面上にかけ。 (神戸大) {f(x))}=f(x)(2)+fany) y = {Sint sin(-1) - cost cos (- E) | sint dy = cos(t-1) cost -sin(t-1) sint dt cosacosp Sindsing dt (3) 2 2 -1/sim RIB sin't 2 -1/2 slut -2.13sin2t (2)増減表 t dx dt + 0 T 3 2 TTL + + X07 √3 at ++ 0 sint-cost sint sintcost 2 2 cos(2t) 性=0のときも 3,6 dx +0 →1←← O dx=post より da=costdt dt S=-fces(t-Elsint· cost de ( 0+ + • 2 cos(tro) sinzt y011年10 グラフ y=0のとき 2 T y ✓ い sinzt dt 積和 • 453 sin (3-1) + sin(t+17) dt COS (3t) 3 ~ + { (-Cost R-COLDTE) 18 -Cos- - (-COS — AR - COSER) Cos -12 → は

赤線ひいたところ、なぜそこが90°って分かるんですか🙇‍♂️

64 第3章 図形と計量 *11 三角形は,与えられた辺の長さや角の大きさの条件によって, ただ一通りに決まる 場合や二通りに決まる場合がある。以下,△ABC において AB=4 とする。 (1) AC=6,cos<BAC= とする。 このとき, BC=ア であり, △ABCはただ 一通りに決まる。 (2) sin/BAC= 1/12 とする。このとき, BC の長さのとり得る値の範囲は,点Bと直 3 嵐 イ 線 ACとの距離を考えることにより, BC≧ ウ である。 BC= イ ウ またはBC=エ のとき,△ABC はただ一通りに決まる。 また,∠ABC=90°のとき, BC=√オ である。 したがって,△ABCの形状について,次のことが成り立つ。 イ ウ <BC<オ のとき,△ABC は •BC=√オ のとき, △ABCは •BC > オ かつ BC≠ I のとき,△ABCはク ク の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。) Gaia ⑩ただ一通りに決まり,それは鋭角三角形である ① ただ一通りに決まり,それは直角三角形である ②ただ一通りに決まり, それは鈍角三角形である 建 ③二通りに決まり,それらはともに鋭角三角形である ④二通りに決まり、 それらは鋭角三角形と直角三角形である ⑤二通りに決まり,それらは鋭角三角形と鈍角三角形である ⑥二通りに決まり,それらはともに直角三角形である ⑦二通りに決まり,それらは直角三角形と鈍角三角形である ⑧ 二通りに決まり,それらはともに鈍角三角形である -BAD [22 共通テスト

どこかで間違っていますか…？ 最後の式から 因数分解が出来なくて困っています 🙇🏻‍♀️՞ 教えてくださると助かります

x 112 72 2 92 12曲線 y=x(4-x) と x 軸で囲まれた図形の面積Sを求めよ。 また,直線 y=ax (a <4) が面積Sを2等分するように,定数 αの値を定めよ。 【7点】 r S=S" (-x² + 4x)dx = [ -z ² + 2x²] " 64 3- + 32= 64.96 33 33 2 0 x²+40=ax x2+ax-4x=0. (x+α-4)=0 x=-a+4,0 13² = √-a+4 (-x²+4x-ax )dx 2 16 3 16 3 - 1-33+2 +2x²-2x2 -aty ax²]" -a²+120²-480+64 3. a4 y=ax x 2(a2-fa+16)-assatloa 2 32=-21-0412a-48a+64)+12(a-fa+16)-pala-fa+(6) 32 = 203/240 +966-128 ₤1203-96a+ 192 - 3034/240- 32 = -03 +12a²-48a +64. 03-120'+48a-32=0 -4a 点】

・1枚目の画像のように解いてみたのですが、そこから　 　先どうやって証明を進めればいいのかわかりません。 ・2枚目の画像（答え）で、黄色の」まではわかったので 　すが、赤の四角のところからわかりません。 　なぜ1/4（k+1）が出てくるのかと、なぜそれを引いて 　いるのかが... 続きを読む

れを自然数とするとき,次の不等式を数学的帰納法によって証明せよ。 1-12 + 3/14 + 516 + 3 1 + (2n-1). 2n - An (エ)n=1とすると、 ①の左=1/12=1/ ①の右辺 = 4 となり、n=1のとき①は成り立つ (Ⅱ)n=kのとき 414 (2k-1).2k n-k+1のとき 1-2 + 3 + 4+ 5+ 6+ 12 +34 +8+46-0.26 = = - ½ x @ 成り立つと仮定すると、 +12(k+1)-1}.2(+1) VII flw 4 4(k+1) 1+2+3+4+ 16 +.. + (2k+1) (2k+2) ≤ 4 3 を示す。 4k+4 ①の両の差を考えて、 これを自然数とす 3 3-4/14 - (1-2 +34 +5 16+ + C++1) 262 + (26+1) (2+2) 130 4k+4 ②から、 4-4644 - (1/2+374 +56 + ... +66-1) 26+ (26+1)/(26+2)]}=-4+14-[+6+*(2+1)/(260) +++ 3 4k - (241) (24+2) = 1 - (1+14+56 +(2k-2k+ (2/+1) (2(022) ++(K-UE+(2)