この問題の(2)の解説で、 求める体積は、立方体の体積 xyz から4つの三角錐の体積の合計4 * 1/3 * 1/2 * xyz = 2/3 * xyzをひいたもので ある。 よって、= 1/3 * 2sqrt(2) * 1 * 2sqrt(2) = 8/3 って書い... 続きを読む

(4) 四面体 ABCD において,底面を △AMD と考えると BCMA, BC MD だから, 線分 BC が高さ. よって、V=1/31/14 √14.2=- 2/14 ( 113 B MP N 考 入試に出題される特殊な四面体は次の4つです. (2) 4444 (正四面体) (正三角錐) (等面四面体) ①は立方体の隅を切り落とすことでつくれます. ( 演習問題64) ④は直方体の隅を切り落とすことでつくれます。(演習問題65) 演習問題 65 AC=BD=AD=BC=3, AB=CD=4 をみたす四面体は右 図のようにある直方体に含まれる. (1) この直方体の辺のうち, 異なる 3つの辺の長さを求めよ. × ? (2) 四面体 ABCD の体積を求めよ. × 3 B 3 D 一般 第4章

この問題の(4)で、どうして線分BCが高さで、線分BMが高さじゃないのか分からないので教えてほしいです！！

112 第4章 図形の性質 基礎問 65 特殊な四面体 (II) ? AB=AC=DB=DC=4,BC=AD=2 をみたす四面体 ABCD がある. 辺 BC, 辺 AD の中点をそれぞれM, Nとおくとき, 次の問いに答えよ. (1) AMの長さを求めよ. (2) MN の長さを求めよ. (3) AMDの面積Sを求めよ. (4) 四面体 ABCD の体積 Vを求めよ. MX 精講 同様です . (1)△ABCは二等辺三角形だから,AM⊥BC です. よって, AMの長さは三平方の定理を使って求めます。 (2) AMD は二等辺三角形だから,(1)と (4)「平面αと直線が垂直」とは,「平面α上の平行 でない2つの直線とlが垂直」 であることです. (右図参照) 解答 (1) AMBC だから, 三平方の定理より AM=√AB2-BM2=√16-1=√15 (2)MNAD だから,三平方の定理より B AMN=√AM?-AN?=√15-1=√14 M M S=1/2・AD・MN=1/2・2·y14-/14 √15 A N N

(1)です、この場合、ルートの中に絶対値をつける時、|x|^2、|x+2|^4と|x^2|、|(x+2)^4|って同じことですよね？回答お願いします、、

基本 例題 68 対数微分法 tanx欠の関数を微分せよ。 (x+2)4 inx 3 1161) y= Vx2(x2+1) 0000 [(2) 岡山理科 (2) y=xx(x>0) 基本 ax+b/ 指針 (1)右辺を指数の形で表し,y=(x+2)x3(x2+1) F3として微分することもできる 計算が大変。 このような複雑な積・商・累乗の形の関数の微分では,まず, 両辺(の 対値)の自然対数をとってから微分するとよい。 →積は和,商は差は倍となり,微分の計算がらくになる。 (2)(x)'=nxn-1 や (ax)'=axl0ga を思い出して,y=xxxx または y'=x*logx とするのは誤り! (1) と同様に,まず両辺の自然対数をとる。 (x)}= CHART 累乗の積と商で表された関数の微分 両辺の対数をとって微分す とおく 辺正という保証がないからばりやり正にする l 1 (1) 両辺の絶対値の自然対数をとって x+2/ <lvl=3 +x |² (x²+1) Og2 02 "答 10g|v|= 1/2/3{410g|x+2|-21og|x|-log(x2+1)} 3 =2f 1 4 2 2x 両辺をxで微分して 3 x+2 x x2+1 とお ある よって として両辺の自然対数 る (対数の真数は正)。 なお,常に x 2 +1> 0 対数の性質 g20 y' = 3 4x(x2+1)-2(x+2)(x2+1)-2x2(x+2) (x+2)x(x2+1) 1-2(4x2-x+2). 3 = • • (x+2) 4 3(x+2)x(x2+1) Vx2(x2+1) 2 (4x²-x+2) x+2 •y. 10gaMN=10ga M+10g M loga =logaM-10ga N 10gaM=kloga M (a>0, a = 1, M>0, N

この問題についてなのですが、解答解説に合同式を用いた証明しか載っていなくて、合同式を使わないで証明できる方法があれば、記述の仕方と併せて教えて欲しいです。（私の学校では合同式について扱っていないです。） お願いします🙇‍♀️

(3)自然数の列{az}を言 41=5,an+1=94+ a +1 (n = 1, 2, 3,･･･) 4 によって定める.この列の各項 αを4で割ったときの余りを求めよ.

そもそもs2m、s2m-1に分けて和を求める理由が分かりません。教えて頂きたいです。

重要 例題 28 S2m, S2m-1 に分けて和を求める n 一般項がαn=(-1)+1n2 で与えられる数列{an} に対して, Sn=ak とする。 KI) azk-1+a2k (k=1,2,3, ......) を用いて表せ。 ((2) Sn=(n=1, 2, 3, 指針 ・・・・) と表される。 k=1 (2) 数列{an} の各項は符号が交互に変わるから,和は簡単に求められない。 次のように項を2つずつ区切ってみると Sn=(12-22)+(32-42)+(52-62)+...... (2)+( =b1 =b2 =bs 上のように数列{bn} を定めると, bk=a2k-1+azk (kは自然数) である。 よって, m を自然数とすると [1]nが偶数、すなわちn=2mのときはSm=2bi=(azn-1+aan)として求め られる。 1 [2]nが奇数,すなわちn=2m-1のときは,Sam=S2m-1+α2m より S2m-1=Sam-a2mであるから, [1] の結果を利用して S2m-1 が求められる。 このように、nが偶数の場合と奇数の場合に分けて和を求める。 (1) A2k-1 1+a2k=(-1)2(2k-1)+(-1)2k+1(2k) 2 =(2k-1)-(2k)²=1-4k 答 (2) [1] n=2mmは自然数)のとき m S2m=(a2k-1+a2k) = (1-4k) k=1 基本 n m= m k=1 m-4.1m(m+1)=-2m²-m 1 であるから -2(2)²=-n(n+1) == [2] n=2m-1 (mは自然数) のとき azm=(-1)2m+1(2m)=-4m² であるから S2m-1=S2m-azm=-2m²-m+4m²=2m²-m _n+1 m= m-2 であるから (−1)数=1, (−1) 奇数=-1 ={(2k-1)+2k} x{(2k-1)-2k} Szm=(a1+a2) +(a3+α)+.. +(a2m-1+a2m) Szm=-2m²-mに n =177 を代入して,n m= 2 の式に直す。 S2m=S2m-1+a2m を利用する。 451 1 章 3種々の数列 Sn=2(n+1)_n+1=1/12(n+1)(n+1)-1 2 =(+1) (−1)"+1 [1] [2] から Sn= -n(n+1) n(n+1)* =(-1)+..+8+8+1 S2m-1=2m²-m n o 式に直す。 THAN (*) [1], [2] の Sn の式は 符号が異なるだけだから, (*)のようにまとめるこ とができる。

下線のところがどうしてそうなるのかわからないです (１)までは理解できました よろしくお願いします

問4 (1) BC=-615 AB=5,BC=7. CA =6 より であるから 72=62+52-26 一部=1+16-26 16-5-6-7. |1=6 (3) 右の図のようにBから対 辺 CA に垂線 BPCから対 辺AB に垂線 CQ を下ろす と Hは直線 BP CQ の交 点である。 P H また, 内積の定義より A = 36+ 25-49 =6 2 0であるから |||| cos AB COS ∠CAB0 = AB AQ ∴ 0° < ∠CAB <90° であるから 最大辺BC の対角が鋭角なので,△ABC は鋭角三角 形である。 AQ= AB 同様にして (2) 問題文にある外接円の中 心の定理より 辺AB の 中点Mに対して から辺 ABに下ろした垂線は OM であるから AB-AO = |AB||AO| cos ∠OAB = AB AM = C=AC AP 65 :.AP = b.c -=1 AC p.gを実数として,A=1+gc AB AH = p²+9b.c = 25p+6g A M B であり AB.AH=|AB||A|cos H = AB AQ s, tを実数として、A=s+tc とおくと① と表すこともできるから、⑤ 6 ⑦ よ および||=5より AB AO=sb²+tb.c =S =25s + 6t 25p+6g = 5 • ∴. 25p+6g=6 同様にして, AC・AHは ②より AB・AO = 5 • 312 であるから 25s + 6t= =2 25 5 = 2 また,辺ACの中点をおくと,同様にして ACAO =AC・AN = 6.3=18 であり、①および||=6より AС · ÃÒ = sb · ¯ + t = p² = 6s+ 36t であるから 6s + 36t = 18 .. s + 6t = 3 したがって, ③④より 19 S= t = 125 48 288 AC AH = pb c + q c = 6p+36g AC.AH = |AC||AF | cos = AC AP と2通りに表せるから,⑥ より 6p+36g = 61 ∴p + 6g = 1 したがって, ⑧⑨より 5 p = 19 24' g= 144 終業式 3回直し

(2)の問題なのですが、黄色い線を引いたところが分からないです。どうしてこの式になるのですか？

498 基本 例題 5 ベクトルの分解 0000 正六角形ABCDEF において,辺 DE の中点をMとする。このとき, CF=AB, AM= CHART & SOLUTION ベクトルの表示の基本 AB+ AFである。 p.492 493 基本事項 21. 30

(2)の問題なんですけど、解答が理解できません。 写真のような解き方ではだめなのですか？ 教えて欲しいです

500 数列の和と一般項, 部分数列 P.494 基本事項4) 基本 127 基本 例題 105 (2) (1) 一般項 αn を求めよ。 初項から第n項までの和S が S = 2n-nとなる数列{a} について 00000 和a+a3+α+......+a2n-1 を求めよ。 指針 (1) 初項から第n項までの和S と一般項an の関係は S=a+az+......+an-s+an n≧2のとき -)Sn-1=a1+a2+…+an-1 分数の数列 基本例 次の数列 n=1のとき Sn-Sn-1= a=S₁ an ゆえに 数列の和 Sm がnの式で表された数列については, この公式を利用して一般項 αを求め る。 ......... (2) 数列の和→ まず一般項(第五項) をんの式で表す 指針 第 ない 差の 2k a3. ....... a2k-1 第1項 第2項 第3項,······, 第k項 an n=2k-1 を代入して第ん項の式を よう → 求める。 この 解答 a1, a5. なお, 数列 a1, A3, A5, ......, A2n-1 のように, 数列{az}からいくつかの項を取り除HAR できる数列を,{a} の部分数列という。 (1)n≧2のとき また an=S-Sm-s=(2n2-n)-{2(n-1)^-(n-1)} =4n-3 ...... ① a1=St=2.12-1=1 ここで, ① において n=1 とすると 4S-2n²-n Cab Sr-1=2(n-1)-(n-1) 初項は特別扱い 分数の 解答 この数列 α=4・1-3=1 よって, n=1のときにも①は成り立つ。 したがって an=4n-3 ann≧1で1つの式に される。 求める利 S (2) (1)より, a2k-1=4(2k-1)-3=8k-7であるから azk-1 は α=4n-3におい as+a+as+... +α2n-1= = =a2k-1=(8k-7) k=1 てに2k-1を代入。 k=1 =8.11n(n+1)-7n=n(4n-3) k.1の公式を利用。 受け 検 n≧1でan=S-S となる場合 例題 (1) のように, a,=S,-Sm-1でn=1とした値とαが一致するのは、S” の式でn=0 とした とき So=0 すなわちの整式 S の定数項が 0 となる場合である。 もし、S=2n-n+1(定数) 項が0でない)ならば, α = S1=2, an=Sn-Sm-1=4n-3 (n≧2) となり 4n-3n=1とは 値と αが一致しない。 このとき、最後の答えは 「α=2, n≧2 のとき α=4n-3」 と表す。 一習初項から第n項までの和 S が次のように表される数列{az} について 一般項 15 am と和α+αs+α7++α37-2 をそれぞれ求めよ。 (1) Sn=3n²+5n (2) S=3m²+4n+2 次の 練習 106

(1)で35を足すのはなぜですか？引くのではないのですか？

数と確率 例題 3つの集合の要素の個数 AUBUC 2100人の生徒に A, B, Cのテストを行った。 合格者の数は次の表の通りで あった テスト A B C A,Bの両方 B, C の両方 C, A の両方 A, B, Cのすべて 合格者数 60 65 68 43 48 45 (1) 少なくともどれか1つに合格した人数を求めよ。 (2) Aだけに合格した人数を求めよ。 A, B, C の合格者の集合をそれぞれ A, B, C とする。 (1) 少なくともどれか1つに合格した者の集合は AUBUCである。 35 n(AUBUC) =n(A)+n(B)+n(C) -n (A∩B)-n (BC) (COA) +m(A∩BNC) = 60 +65 +68-43-48-45+35 = 92 (人) (2) Aだけ合格した者の集合は ANBOCである。 右の図より n (AM BMC ) =n(A)-n (A∩B)-n(COA)+m(A∩B∩C) =60-43-45+357 (人) ・U- B'

この問題の平方完成からよく分かりません教えてください

652 重要 例 43 ベクトルと軌跡 100000円 座標平面において, △ABC は BA·CA=0を満たしている。 この平面上の点 が条件 AP・BP+BP・CP+CP・AP=0を満たすとき,Pはどのような図形上の 点であるか。 [ 類 岡山理科大 ] 指針 p.650 基本例題41と同様の方針。 ここでは各ベクトルを,点Aに関する位置ベクト ルの差に分割して整理。 その際に、条件BA・CA=0 を利用する。 CHART ベクトルと軌跡 始点をうまく選び差に分割 AB=1, AC=c. AP=♪ とす 解答ると、条件式は -(-5)+(-5).—c) 点Aに関する位置ベク トルを考える。 +(-)-7=0 BA･CA=0 より c = 0 である B M から ①を整理して CBA-CA-(-5)-(-) =6.c 31-2(+7)=0 よって 15-(6+2)-5=0 ゆえに 2/3(+)・1/16+2=1/16+ 平方完成の要領。 よって -(+)-3(+) ゆえに (1) 6+cは辺BCの中点の 2 位置ベクトル。 辺BCの中点をMとすると (6+)-AM 2/3 AM AG とすると,点Gは △ABC の重心となる。 したがって、点Pは△ABCの重心Gを中心とし, 半径が AG の円周上の点である。 点G は線分AMを 21に内分する は頂点Aを通る。