文系・理系ごとの進路
例題 346 外心の位置ベクトル
3 ベクトルと図形
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609
9
平面上のベクトル
考え方
解
DA
△ABCにおいて, AB = 8,BC=7,CA=5 とする. 辺ABの中点を
M,辺 AC の中点をN, △ABCの外心をPとするとき,AB=1,
として,次の問いに答えよ.
(1)積を求めよ.
(2)MPLAB, NP⊥AC を利用して, APをこを用いて表せ .
(1) BC=AC-AB=c-6 であることを利用する.
(2) AP=s+tc とおいて MP・AB=0, NPAC=0 を計算し, s, tを求める.
(1) |BC|=|-|²=|c|²−26•c+|b|²
72=52-2・C+82 より, 6.c=20
(2) Ap=sh+tc とおくと,
Amods-5
C
MP=AP-AM-s6+1c-126 = (s-1/2)+
NP=AP¬AÑ=sb+tc¬½=sb+ (t−1) c
AMP⊥AB より,
JA NA HA
MAB=
2
B
MP･AB=0 だから80015
M³· AB={( s − ½)6 + tc}·6=(s) 16+tb-c
S
1 A
=64s-1/2)+20t=0より16s+5t=8 ……D
NP⊥AC より, NPAC = 0 だから,
8.
M.
N5
IP
7
C
点Pは外心だから
PM は AB の垂直
二等分線となる.
つまり, MP⊥AB
より, MP･AB=0
NPAC={st+(t-12) c}=sbc+(t-1/2)PLA
=20s+25t-
=0より, 8s+10t=5 ･･････ ②
1-1/2)=0
①,②より,s=11. t=1/26 だからA=2+2
AP
解) AP=s+t とおく.
24'
15
A
24 15
内積の性質より,AP･AM=4°=16,APAN=(2-25
←
内積の図形的意味
(p.576, p.612
したがって,AP・AM= (s6+tc). 12/26/1/2s1+1/216.2 Column 参照)
=
=32s+10t=16 ......3555
AP•AN=(s6+tc)2c=12s6-c+1/2HCP
=10s+ 25-25 A
4
11
2
③ ④ より,s=
t=
だから,
24'
15
2
AP=1/16-
15
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