58. たてばねによる単振動〉
図のように、なめらかで十分長い直線状の棒 OP を鉛直に立ててO
端を水平な床に固定した。 この棒に、同じ質量mの穴の開いた小さ
い物体A,Bを通した。物体Aには、ばね定数の軽いばねをつけ、
ばねの他端は棒の端に固定した。 ばねはOP 方向のみに伸縮し、棒
と物体A,Bの間に摩擦はないものとする。さらに,物体Aのばねと
は反対側に質量と厚さの無視できる接着剤で物体Bを接着した。 物体
[18 広島大
P
物体
x=0+
接着剤
物体
ABが廻しあうときは物体とBはないが、引きあうときは引きあう力の大きさが
着剤の接着力以上になると物体AとBは離れる。重力加速度の大きさを!とする。
初めに, ばねはその自然の長さからだけ縮んで, 物体 A, B はつりあいの位置に静止し
ていた。 図のように,このつりあいの位置を x=0 とし,鉛直上向きを正とするx軸をとる
(1) 自然の長さからのばねの縮みを,m,k,g を用いて表せ。
まず, 接着剤の接着力が十分大きく, 物体AとBが離れない場合を考える。物体Bをつりあ
いの位置から6だけ押し下げ、静かに手をはなすと, 物体AとBは一体のまま上下に振動した
(2)この振動の周期を,m, k を用いて表せ。
(3) この振動をしているときの物体A, B の速さの最大値を,m, k, bを用いて表せ
物体AとBが一体のまま運動しているときの両物体の位置の座標をxとする。 また, 物体
Aが物体Bから受ける力をTとし, x軸の正の向きをTの正の向きとする。 つまりTが
正のときは物体AとBは引きあっているが,Tが負のときは押しあっていることになる。
(4)このとき, 物体Bにはたらく力を, m, g, Tを用いて表せ。 x軸の正の向きを物体Bには
△
たらく力の正の向きとすること。
△ (5) 物体 A,Bの運動方程式を考えることで, Tを,m, k, g, xを用いて表せ。
.00
図 (6) Tをxの関数として, -3d≦x≦3d の範囲でグラフにかけ。 ここでは6>3d とする。
D
次に,接着剤の接着力が小さく, 物体 A, B間の引きあう力の大きさがmg以上になると,
物体AとBは離れる場合を考える。 ただし,離れる瞬間の前後で, 物体AとBの運動エネル
ギーや,ばねの弾性エネルギーは変化しないものとする。
物体Bをつりあいの位置からだけ押し下げ、静かに手をはなすと, 物体Bは運動の途中
で物体Aから離れた。
x (7) 運動の途中で物体Bが物体Aから離れるためには,はある値以上でなければならな
い。 by を,m,k,g を用いて表せ。
x (8) 物体Bが物体Aから離れた瞬間の物体Bの速さを,m,k,g, b を用いて表せ。
〔22 千葉大〕
(3)A,Bの速さが最大値が最大になるのは,振動の中心(x=0) を通過するとき
である。 振幅はるなので、 「ひ最大=Aw」 より x=bw=b
k
2m
別解 弾性力と重力の合力による位置エネルギーを用いた,単振動のエネル
ギー保存則 「1/12m+1/2 Kx=一定」(x: 振動の中心からの距離)を用いる。
スタート位置(x=-6) 振動の中心 (x=0)について
1
0+
・2mv最大2+0 よって 最大 = b
k
2m
別解 高さの基準を x=0 として, 力学的エネルギー保存則
x1
「1/12mo+mgh+1/23kx=-定」 (x: 自然の長さからの距離)を用いる(図c)。
スタート位置と振動の中心について
d₁
自然の長さ
0+2mg(-b)+1/21k(d+b)=1/21.2mon ++0+
①式を用いて整理すると
k
x=bym
(4)位置xにあるときのA,Bにはたらく力を図示する(図d)。 ただし、Ak
Bが引きあっているものとして図示している。
Bには,重力 mg と Tが鉛直下向き (負の向き) にはたらいているので,Bに
はたらく力 FB は FB=-mg-T
(5)A, B の加速度をαとする。 図dより, 運動方程式は
物体A: ma=T+k(d-x)-mg
物体B:ma=-mg-T
x1
kd₁²
The hell
d₁
1 最大
0
振動の中心
d+b
(速さ0)
スタート
図c
②式 ③式より0=2T+k(d-x)
d-- 自然の長さ
d₁-x
T
②
a
mg
mgk(d-x)
T
①式を用いて整理するとT=1/2kx-m
(6) ④ 式, 1 式より
mg
x=-3 のとき T=1/21k-3d-mg=
3
・2mg-mg-4mg
2
3
x=3d のとき
T=k(3d)-mg=
・2mg-mg=2mg
x=0 のとき
T=
=1/23kx0-
x0-mg = -mg
T=0 のとき
mg
0=1/2kx-m よって x=2mg(=d)
以上より,Tをxの関数としてグラフをかくと図e
(7)問題文より T≧mg となるとBがAから離れる。 そのためのxの条件は
図e
0
物体A
物体B
図 d
TA
2mg+
-3d₁
0
X
-mg
2mg 3d
k
4mg
k
1
④式より
T=1kx-mgmg
よってx≧
4mg
k
Amg
したがって, AとBが離れる位置は x=
k
Amg
4mg
A, B が x=- に達するためには b≧
4mg よって b=
k
k
k
(8) 求める速さをする。 弾性力と重力の合力による位置エネルギーを用いた,
単振動のエネルギー保存則 「1/2m+1/2 Kx=定」(x振動の中心からの距
離)を用いる。スタート位置(x=-b)と,AとBが離れる位置(x=472) に
ついて(図) 0+1/21kb=123.2m+1/21k (472)
4mg
離れる
k
0
振動の中心
b
( 速さ 0)
-- スタート
図 f
k
8mg
8mg2
62-
v=
よって
-62
V2m
k
2m
k
物理重要問題集
61
(7)は問題文にありましたね😖
(4)で、Tを逆向きにしたら、(6)のグラフもX軸対称になるってことですかー？