ベクトルの問題なんですけど、例題では不等号にイコールがついてないのに練習問題では不等号にイコールがついているのはなんでですか？

000 +161 29 基本事項 12 数学C 重要 例題 21 ベクトルの大きさと絶対不等式 して成り立つような実数kの値の範囲を求めよ。 00000 ||=1, |8|=2,=√2 とするとき,ka +t6 >1がすべての実数に対 A>0,B>0 のとき ここで \ka +t6 />1.･････ ①と同値である。 |ka+t6p=k2\d+2kta ||=1, |5|=2, a1= √2 であるから ka+t6p=k+2√2 kt+4t2 よって, ① から k2+2√2kt+4t>1 A>BA2>B² +12 スピュア (5) (E-AO (va)=10.J は として扱う ka +t6>1は ka+t62>12 いての2次式)>0 の形になる。 ・0 するとも きる部分 二示すと CHART & SOLUTION この式に対し, 数学Ⅰで学習した次のことを利用し、の値の範囲を求める。 tの2次不等式 at°+bt+c>0 がすべての実数について成り立つ ⇔a>0 かつ b-4ac< 0 解答 ka +t620 であるから, ka+t>1は B-10-20 基本18 よって ゆえに 1章 3 so =kx2+2kt×1 + t×12 4k+2kt+t... ① それぞ d= e= ･････ ① と同値である。 ① を計算して整理すると, (tにつ ベクトルの内積 ka +t620 であるから, ka + to≧2は ka + to ≧ 4... ②と同値である。 A≧0, B≧0 のと ABAB よっ よって, ①,② から 4k2+2kt+t^≧4 すなわち 2+2kt+4k2-40...... ③ ③ がすべての実数 tに対して成り立つための条件は, tの2次 J= は定数と考える。 PR 43 21 うな実数kの値の範囲を求めよ。 |||=2, |6|=1, |- =√3 とするとき, [ka +162 がすべての実数に対して成り立つ Aq PR 3 la-6=√3 の両辺を2乗して ||=2, |6|=1 を代入して a.b=1 |ka+t6p=ka+2kta +12 la-246+18=3 2-2à・6+1=3 【CHART はとして扱う ②23 点 の 3点D 方程式 2+2kt+4k2-4=0 の判別式をDとすると,の係数 は正であるから D≤0 また ドの係数>0.D0 9 ここで =k²-1×(4k²-4)=-3k²+4 (01- D よって -3k²+4≤0 ゆえに k²- ≥0 2 したがって110 D よって -2k²+4< 0 ゆえに k²-2>0 したがって k<-√2,√2<h INFORMATION 2次関数のグラフによる考察 上の CHART & SOLUTION で扱った絶対不等式は, 関数 y=at2+bt+c のグラフが常に 「t軸より上側」 にある, と して考えるとわかりやすい。 y すなわち 4t2+2√2kt+k-1>0 ② ② がすべての実数tに対して成り立つための条件は, tの2 次方程式 4t2+2√2kt+k-1=0 の判別式をDとすると, の係数は正であるから D<05 seal ここで =(√2k)²-4× (k²-1)=-2k²+4+ D<0 が条件。 問題の不等式の条件は PR ② がすべての実数に 対して成り立つこと。 ②24 PR 22 実数x, y, a, b が条件 x+y=1 および " + 6 =2 を満たすとき, ax + by の最大値、最小 値を求めよ。 5 p. を原点とする。 yt √2 x+y=1 を満たすx, y に対して (k+√2) (k-√2)>0 Q OP= (x,y)とし、 a2+b2=2をたす a, b に対して -√2-1 ゆ OQ= (a, b) とする よって 0° C y=af+bt+c 0 t [a>0かつb-4ac <0] PRACTICE 21° よって 2 (+by)2 ゆえに ||=2,|6|=1,|a|=√3 とするとき, ka+t6/≧2 がすべての実数に対して成 り立つような実数kの値の範囲を求めよ。 OP, OQ のなす角をすると OP.OQ=|OP||Cocose ax+by=1×√2 Xco -cos1でから 180°より, -√2 Sax+bys√2 ax + by の最大値は√2,最小値は 別解 コーシー・シュワルツの不等式から (a+b2+y^)≧ (ax+by)2 等号が成 よっ 2ax+bys√2 αy=bx のときである。 立つのは ax + by の最大値は2,最小値は√2 ←OP|=√x+y=1, E 100=√a+b=√2 すなわち, 80°のと き最大値, 0=180°のと き最小値をとる。 ルツの コーシー・シュワ は,PR 20 式について を参照。

この問題の（1）なんですけど、答えはπ以下じゃないといけませんか？

52 基本 例題 105 線分のなす角, 平行・垂直 0000 α=-1,β=2i, y=a-iとし, 複素数平面上で3点をA(α), B(B), C(y) と する。 ただし, αは実数の定数とする。 (1) α=- 2 3 のとき,∠BACの大きさを求めよ。 (2)3点 A,B,Cが一直線上にあるようにαの値を定めよ。 (3)2 直線 AB,AC が垂直であるようにαの値を定めよ。 CHART & SOLUTION p.451 基本事項 3 線分のなす角、平行・垂直 - の値に着目 B-a 半分の (1) ∠BAC= arg (2) の円 r-a (3) B-a 虚数 (∠BAC= 解答 Cargo から を計算し、極形式で表す。 β-α Y - が実数 (∠BAC=0 または β-a y-a = (1) 2-8- B-a 3 i)-(-1) 2i-(-1) 131 i 1 (1-3) (1-2i) 1+2i 3 (1+2i)(1-2i) 分母の実数化 (予) (カフェリー(cos()+isin 3 COS 40+30 =/(-1-1)= 3 したがって <BAC=|-2|1=2014/10 ∠BAC 3 3 例 π F ZBAC=arg- Y-a B-a (2) B-a 2i-(-1) y-a_(a-i)-(-1)_(a+1)-i {(a+1)-i}(1-2i)_(a-1)-(2a+3)i 1+2i 通り (1+2i)(1-2i) ①20:90 5 3点 A, B, C が一直線上にあるための条件は, ①が実数 zx+yi (x, yは実 となることであるから 2a+3=0 使用する 3 において よって a=- 2 y=0 zは実数 数となることであるから α-1=0 かつ 2a+3≠0 よって _3) 2直線AB, ACが垂直であるための条件は,① が純虚 x=0 かつ y≠0 ⇔は純虚数 a=1 RACTICE 105 ② 2α+30 を満たす。 ■) 複素数平面上の3点A(-1+2i), B(2+i), C(1-2i) に対し, ∠BACの大きさ 求めよ。 ) α=2+i

A外れの場合5/19 Aあたりの場合4/19 よってBの確率は9/19って考えたんですけど、これはどうして違いますか？？また、チャートはどのように考えてこの求め方ですか？

320 基本 例題 38 確率の加法定理 ( 順列) 00000 20本のくじの中に当たりくじが5本ある。 このくじをa,b 2人がこの順に、 1本ずつ1回だけ引くとき, a, b それぞれの当たる確率を求めよ。 ただし 引いたくじはもとに戻さないものとする。 p.312 基本事項 CHART & SOLUTION 確率 P(AUB) A,Bが排反ならP(A)+P(B) bが当たる場合は,次の2つの事象に分かれる。 Baがはずれ, bは当たる Aが当たり bも当たる よって, 事象A, B の関係(A∩BØかどうか)に注目する。 解答 P 5 1 aが当たる確率は 20P1 20 4 次に, a, b 2人がこの順にくじを1本ずつ引くとき,起こり うるすべての場合の数は 24P2=380 (通り) 2本のくじを取り出して、 このうち, bが当たる場合の数は Aa が当たり, bも当たる場合 Baがはずれ, b が当たる場合 5P2=20 (通り) a,bの前に並べる場合 の数。 15×5=75 (通り) A. Bは互いに排反であるから, 確率の加法定理により, bが当たる確率は 20 P(AUB) P(A)+P(B)=- 75 95 1 + 380 380 380 4 事象A,Bは同時に起 こらない。 INFORMATION 当たりくじを引く確率は同じ 上の例題において, 1本目が当たる確率と2本目が当たる確率はともに等しい。 一般に,当たりくじを引く確率は,引く順番に関係なく一定である。 また、引いたくじをもとに戻すものとすると, 1本目が当たる確率と2本目が当たる 確率はともに 11 である。したがって 1 当たりくじを引く確率は、引く順、 もとに戻す もとに戻さないに関係なく等しい。 PRACTICE 38° 20本のくじの中に当たりくじが4本ある。 このくじをa, b,c3人がこの順に1本 ずつ1回だけ引くとき、 次の確率を求めよ。 ただし、引いたくじはもとに戻さない のとする。 (1) aが当たり,cも当たる確率 (2) は 確率

数Bの質問です！ （2）は － でくくらないと× にされますか？？ よろしくおねがいします🙇🏻‍♀️՞

次のよう 等差数列-20, 18, 16, 28の和 の |初項2, 公差 -3 の等差数列の初項から第n項までの和 000 (3) 第10項が35, 第24項が91 の等差数列の第15項から第40項までの和 CHART & SOLUTION 等差数列の和 p.355 基本事項 5 初α, 公差 d, 第n項 (末頃) 等差数列の初項から第n項までの和をSと すると [1] Sn 贈答 =1/2n(a+1) [2] S=1/2(24+(n-1)d) (1)初項-20, 公差2から,末項28が第n項であるとする と -20+(n-1)・2=28 すなわち 2n-22=28 ゆえに n=25 よって, 初項-20, 末項 28, 項数 25の等差数列の和を求 11.25(-20+28)=100 めて 2 20 (2) 11n(2・2+(n-1)・(-3)}=-1/23n(3n-7) 公差は -18-(-20)=2 末項が与えられている から公式 [1] を利用。 公式 [2] を利用。 1章 1 等差数列

三角関数の不等式の問題です。 ⑵の線を引いた部分が理解できません。 どなたか簡単に解説していただけると助かります。

202 基本 例題 124 三角方程式・不等式の解法 (2次式) 0≦0 <2π のとき,次の方程式・不等式を解け。 (1) 2cos'-sin0-1=0 CHART & SOLUTION (2)2sin'+5cos0 <4 sin0 と coslを含む2次式 1つの三角関数で表す かくれた条件 sin 20+cos20=1 を活用して, 与えられた方程式・不等式を、 どちらか一方で表された方程式・不等式に整理する。 (2)0≦2 のとき, -1≦cos 0≦1 に注意。 基本18 sin0, Cos 解答 ⑩ (1) 方程式を変形して 整理すると 2 (1-sin')-sin0-1=0 2sin20+sin0-1=0 因数分解して よって 002 であるから [1] sin0=-1 のとき 0=- 3 2" (sin0+1)(2sin0-1)=0 sin0=-1,1/12 [2] sino=1/12 のとき 0-1 31 = π 5 6 6 YA π H cos20-1-sin' して, sine だけの ←1 2- 22 [1] 直線 y=-1 と 円の共有点 [2] 直線 y=1/2 円の交点 を考える。 したがって 3-2 10 11 -1 5 3 6 6 0=0 (2)不等式を変形して 2π 12 +5-6 0 2 (1-cos20)+5cos0<4 2cos20-5 cos 0+2> 0 716 (cos 0-2)(2 cos 0-1)>0 1 ●単位円上の点Pの が1/12より小さくなる! な動径 OP を表すの の範囲を求める。 整理すると 因数分解して -1≤cos 0≤1 Th3 4 5 k cos 0-2<0 H よって 2 cos 0-1<0 ゆえに cos < -1 00<2mであるから << 1/3 5 ← 1 (x,y) |1|2 53

範囲の10-8と20、2と10+8がわかりません。 どうしてこの数字になるのですか？

C) する。 の長さを求めよ。 になるとき,辺FG B F G CHART & SOLUTION 文章題の解法 ① 等しい関係の式で表しやすいように、変数を選ぶ ②解が問題の条件に適するかどうかを吟味 基本66 FG=x として, 長方形 DFGE の面積をxで表す。 そして, 面積の式を 20 とおいた, その2次方程式を解く。最後に,求めたxの値が,xのとりうる値の条件を満たすかどうか 忘れずに確認する。 FG=x とすると, 0 <FG <BC であるから 解答 0<x<20 ... ① ..... また,DF=BF=CG であるから D E 2DF=BC-FG B m よって DF= 20-x 2 F 長方形 DFGE の面積は DF • FG= 20-x.x 2 20-x ゆえに x=20 整理すると x2-20x+40=0 これを解いて x=-(-10)±√(-10)2-1.40 =10±2√15 ここで, 02/15 <8 から 3章 6 2次方程式 定義域 ∠B=∠C=45° であるか 5, ABDF, ACEG 角二等辺三角形。 xの係数が偶数 → 26′型 解の吟味。 10-8<10-2√15<20, 2<10+2/15<10+8 02√15=√60<√64=8 よって、この解はいずれも①を満たす。 したがって FG=10±2√15 (cm) 単位をつけ忘れないよう に。 PRACTICE 802 連続した3つの自然数のうち, 最小のものの平方が,他の2数の和に等しい。この3 数を求めよ。

対偶の証明です。 2枚目の緑色のマーカーのところで、なぜ絶対値記号を外す時に二乗するのか分かりません。 あと、なぜオレンジマーカーのところで2つを足し算するのか分からないので教えて下さい！

2 +626 ならば 「la+6>1 または la-6>3」 CHART & SOLUTION

⬇の問題の、マーカーで緑をつけてる数字がどこから出てきたのか分かりません 教えてくださいm(*_ _)m

基本 例題 79 実数解をもつ条件 (2) 00000 (1)xの2次方程式 (m-2)x2-2(m+1)x+m+3=0 が実数解をもつよう に定数mの値の範囲を定めよ。 (2)xの方程式 (m+1)x2+2(m-1)x+2m-5=0 がただ1つの実数解をも つとき, 定数の値を求めよ。 CHART & SOLUTION 方程式が実数解をもつ条件 (2次の係数) ≠0 ならば判別式 Dの利用 (1) 「2次方程式」 が実数解をもつための条件は D≧0 基本 (2)単に「方程式」 とあるから, m+1=0 (1次方程式) の場合と m+1≠0 (2次方程式) の場合に分ける。 解答 (1) 2次方程式であるから m-2≠0 よって m=2 2次方程式の判別式をDとすると 01={-(m+1)-(m-2)(m+3)=m+7 2次方程式が実数解をもつための条件は D≧0 であるから 26′型であるから, D -=b^2-ac を利用する。 4 m+7≥0 よって m≥-7 ゆえに -7≤m<2, 2<m ←m=2 かつ≧-7 (2)[1] m+1=0 すなわちm=-1 のとき -4x-7=0 7 -7 よって, ただ1つの実数解 x=-- をもつ。 4 [2] m≠-1のとき 方程式は2次方程式で,判別式をDとすると 2/27=(m-1)2-(m+1)(2m-5)=-m²+m+6 2次方程式がただ1つの実数解をもつための条件は D=0 であるから よって -m²+m+6=0 (m+2)(m-3)=0 これを解いて m=-2,3 これらはm≠-1 を満たす。 以上から、 求める m の値は m=-2,-1, 3 ←判別式が使えるのは, 2次方程式のとき。 2次方程式が重解をも つ場合である。

内積=０を3つ用意するやり方はダメなのですか？

00000 3点A(2,0,0), B(0, 4, 0), C(0, 0, 6) を通る平面をαとし, 原点から 平面αに下ろした垂線とαの交点をHとする。 点Hの座標を求めよ。 CHART & SOLUTION 59 C 重要 70

ルートの中が二乗とかだったら置換しないと求められないのですか？

基本 例題 109 f(ax+b)の不定積分 不 00 次の不定積分を求めよ。 (1) S (2x+1) dx (3) √ 1 - 3x dx (2) Ssin(3x+2)dx (4) 24x-1dx p.180 CHART & SOLUTION この例題の関数は、すべてf(ax+b) の形。 αに注意して積分する。 F'(x)=f(x), a≠0 とするとき [f(ax+b)dx=21/F(ax+b)+C/1/2を忘れずに! (1)f(x)=x^2 とすると f(2x+1)の不定積分を考える。 (2)~(4) も同様。 答 (1) S√(2x+1)dx=f(2x+1)/2dx=121/12 (2x+1)1+C 25 ==(2x+1)2√2x+1+C (10 1/2を忘れ ←(2x+1)