814 第6.7章 微分法,積分法
20 図のように,等しい辺の長さが1, その挟む
角(頂角)が20である二等辺三角形を4つ使
って四面体を作り,その体積を1/とする。
(1) x=Cos'0 とおくとき, Vをxrを用いて表せ。
(2) 『の最大値を求めよ。
く2の考え方> 1-x>0 よ
xのとり
(14 慶離義巻大)
2の解
三角形の内角の1い
0<20く す
|<1の考え方> 右の図のように各点を定め, BC上平面 AMD
であることを示せば、四面体の体積は、四
画体B-AMD とC-AMD の体積の和とし
て求められる。
よって、0<cos
0<cos0<L
また。2x-1>C
したがって、
与えられた四面体を、
右の図のように四面体
ABCD とする。
1の解
このとき、1-
V=
AABC は
AB=AC=1 の二等辺
三角形であるから、
BC の中点をMとする
と、AM は ZBAC の二等分線となり,"AMIBCである。
ADBC も DB=DC=1 の二等辺三角形なので, DM は < 直線が平面a上の
とできる。こ
f(x)=
>D
とおくと、f
より,(x
わる2直線m,nに
直ならば、直線は
面aに乗直である。
リ =
よって、
したがって、
また。AAMC において、
ADMC において,
したがって、AAMD は、
MA=MD=cos0, AD=2sin0 の
二等辺三角形となるので, Mから
ADに下ろした垂線の足をHとする
と,HはAD の中点となる。
よって, MH=\MA-AH=cos'0-sin'0
AAMD の面積をSとすると。
BC」平面 AMD
けるf(x
AM=cos0, MC=sin@
DM=cos0
ニラ
A
ようにな
COs
こ。
最大値
M
AD=BC-2MC
2sing
よっ
COs
-One
S=-AD×MH=sine,/cos'0-sin'o
となるから,求める体積Vは、
(1では、
「三平
「辺の
『-xs×BM+×S×CM
(2)は、
四面体B-AMD と
C-AMD の体積の和
-×sine cos'0-sin'0 ×2sin@
また
-(1-cos'0)、2cos'0-1
な
sin'e=1-cos'e
1-)2x-1
