序盤で出てきたk＝2とα＝2を答えとしてはいけないのはなぜですか？

解答 672 重要 例題 102 2次方程式の共通解 2つの2次方程式2x2+kx+4=0, x2+x+k=0がただ1つの共通の実数解 つように定数kの値を定め、その共通解を求めよ。 2つの方程式に共通な解の問題であるから,一方の方程式の解を求めることが 指針 たら、その解を他方に代入することによって、 定数の値を求めることができる。 し、この例題の方程式ではうまくいかない。 このような共通解の問題では,次の解法 が一般的である。 2つの方程式の共通解を x =α とおいて,それぞれの方程式に代入すると ①, a²+a+k=0...... ② 2a²+ka+4=0 これをαk についての連立方程式とみて解く。 ② から導かれる k=-α²→α を ① に代入 (kを消去) してもよいが, 3次方程式と なって数学Ⅰの範囲では解けない。 この問題では,最高次の項であるα2の項を消去す ることを考える。 なお, 共通の 「実数解」 という問題の条件に注意。 CHART 方程式の共通解 共通解をx=α とおく 共通解を x=α とおいて, 方程式にそれぞれ代入すると ①, a²+a+k=0 2a²+ka+4=0 ①②×2 から ゆえに よって [1] k=2のとき 2つの方程式はともに x2+x+2=0 となり, この方程式 数学Iの範囲では, の判別式をDとすると D=12-4・1・2=-7 x2+x+2=0の解を求め ることはできない。 D<0であるから,この方程式は実数解をもたない。 ゆえに、2つの方程式は共通の実数解をもたない。 [2] α=2のとき ②から ...... (k-2)a+4-2k=0 (k-2)(a-2)=0 k=2 または α=2 ...... これが答え になるのはダメなのか 22+2+k=0 よって このとき2つの方程式は2x2-6x+4=0, x2+x-6=0 すなわち 2(x-1)(x-2)=0, (x-2)(x+3)=0 とな り,解はそれぞれ x=1, 2; x = 2, -3 よって、2つの方程式はただ1つの共通の実数解 x=2 をもつ。 以上から 共通解はx=2 =-6, α² の項を消去。 この考 え方は, 連立1次方程式 を加減法で解くことに似 ている。 k=-6 α=2 を①に代入しても よい｡ Js] 注意 上の解答では、共通解 x = αをもつと仮定してαやkの値を求めているから、 求めた値に対して, 実際に共通解をもつか, または問題の条件を満たすかど うかを確認しなければならない。 WATEM 練習 2つの2次方程式x2 +6x+12k-24=0, x2+(k+3)x+12=0がただ1つの実数を 102 共通認してき 数の数の '1 3章 1 2次方程式

数学Iの問題です！ （3）の‪√‬を少数にしてる方法を教えて欲しいです！！

なる。 221 (1) =(25+15+35+20+30) =1/1/3 x125=25(分) =1/12 (25-252+(15-25)2+(35−25) 2 + (20-25)2 + (30-25)2} (2) x =1/320+100+100+25+25) = 5X250=50 (3) s=√50=5√//2=7.07 7.1 (5) 225 2 よ 226 (2 (3

37.1 記述に問題ないですか？？

358 8/ 00000 基本例題 37 確率の計算 (2) ・･・ 順列の利用 (1) α3個,62個, c1個を1列に並べるとき, 両端が子音となる確率を求めよ、 (2) 男子4人, 女子2人が手をつないで輪を作るとき, 女子2人が隣り合う確率 を求めよ。 解答 (1) 3個のα を a1,a2,a3, 2個のbを b1, 62 とする。 起こりうる場合は、6個の文字を1列に並べる順列で P6=6! (通り) このうち, 両端が子音となる場合は 3P2通り 指針 (1) 確率の基本 「同じものでも区別して考える」 に従って, 3個のα, 2個のbを異なる もの,すなわち α, a2, a3, bi, b2 として考える。 (2) 「輪を作る」 とあるから, 円順列として考える。 (1) は 「両端が子音」, (2) は 「女子2人が隣り合う」 といった条件処理 (p.313 参照)を行 う必要があることにも注意しよう。 そのおのおのについて, 間の4つの文 字の並べ方は 4P4=4! (通り) よって, 求める確率は 3P2X4! 3･2×4! 6! 6! よって, 求める確率は (2) 起こりうる場合は、6人の円順列であるから (6-1)!=5! (通り) このうち、女子2人が隣り合う場合は (5-1)!×2=4!×2 (通り) 4!×2 2 5! 5 -=- 検討 (1) で同じものを区別しないとき (1) 3つのα 2 つのを区別しないで考えると 並べ方の総数は 6! 3!2! とい まず両端に子音 ○○○○ 次に間に並べる 男 5 WASEDAの6文字を並べる。 練習 m 37 (1) 横1列に並べるとき,次の確率を 女女 - 60, 両端が子音の並べ方は 3× p.356 基本事項 重要 41 3個のαと2個の6を区別 して考える。 子音はb, bz, Cの3つあ るから, 両端の並べ方は 3P2 残り 4個 (すべて異なる)の 並べ方は P4=4! 積の法則によって 3P₂X4! jxa 女子2人を1人と考えて C5 C (5-1)! 女子2人の並び方を考えて ×2 ・両端が (66) か (b,c) か (c, b) 4! 121 =12→ 確率は 3! 605 結果は上で求めた確率と一致しているが, これは偶然ではなく、 同じものを区別しないで考え たときの根元事象が「同様に確からしい」ことから導かれた正しいものである。 説明 例えば, aaabbc という1つの列に対し, 3個のα, 2個の6を区別すると3!×2!通りの並べ方が 8. cantem, then 3x21 しかし,この 「同様に確からしい」 の判断は意外と難しい。 慣れるまでは、上の解答のように 同じ文字でも区別して考える方がよい。 [類 早稲田大] 補 L 見 よ L た I E

写真の問題において、途中、絶対値記号を使うのはなぜでしょうか？ 突然出てきて何も説明なく使っているのですが、なぜここで絶対値を使うのかよくわかりません。 教えて下さい！！

boiteux ramassa er come un ver mit le lie ND va petit es Henn, tem Valpe, alor Comment ter plus cero bitud 266 例題154 連続と微分可能性 PER 次の関数はx=0 で連続であるか。 また, x=0′で微分可能であるか。 lxsin F(x)= (01 脂針 連続 微分可能の定義に従って考える。 f(x)がx=α で連続 答案 (1) x (x=0) (x=0) x→0 ある。 1/0) x→0 (2) g(x)= x = α で微分可能⇔ 微分可能なら連続であるから, まず微分可能性から調べる。 x-a lim h→0 1 f(0+h)-f(0) f(h) =sin // h h h →0のとき、この極限は存在しないから, f(x) は x=0 で微分可能でない。 g(x)= a(0) limf(x)=f(a) x2sin (x=0) (x=0) x0 のとき, Os/xsin 1/21/s/xl lim |x|=0であるから |≤1x1, |x| X x→0 1 a(x) 0 f(a+h)-f(a) h =0.. limf(x)=lim.xsin=0 ① x→0 x limf(x)=0=f(0) が成り立つから, f(x) は x=0 で連続で ...... xC が存在 h→0のとき sin m は振動する。 はさみうちの原理 (p.235 参照) 注意 (1) のように、連 続であっても、 微分可 ALI

（2）と（3）の星マークがついているb^2-4acとbで、なぜ不等号の向きが赤で直したほうになるのか教えてください！

*240/ 2次関数y=ax²+bx+c のグラフが次の図のようになるとき, a, b, c, 62-4ac, a+b+c の符号を求めよ。 (1) (2) YA YA O X (3) YA 0 LES 18

演習β 第21回 5 (2)解説を見たら理解出来るんですけど、これを初見で解ける人は、例えばマーカー部分の式などをどういう考えで思いついてどんな考え方でこの問題を解いていくんですか？

に ASAS 5 [2011 新潟大] 実数 a, b, c に対して,3次関数f(x)=x3+ax2+bx+c を考える。 (1) f(-1), f(0), f(1) が整数であるならば,すべての整数nに対して, f(n) は整数 であることを示せ。 (2) f(2010), f(2011), f (2012) が整数であるならば,すべての整数nに対して, f(n) は整数であることを示せ。 [解答 (1) f(-1)=-1+α-6+c, f(0)=c, f(1)=1+a+b+c から f(1) -f(-1) 2 よって a= f(1)+f(-1) 2 - ƒ(0), b= f(n)=n³+an²2 + bn+c =1 2³ + {ƒ(1) + ƒ (−¹)_ _ƒ(0)}m² + {F(¹) −ƒ(−¹)_ _1]n+ f(0) 2 = 2 2 =f(1).. +n³-f(0)n²-n+f(0) n(n+1), (n-1)は連続する2つの整数の積であるから,いずれも偶数である。 よって, n(n+1)(n-1)n はいずれも整数である。 n(n+1) 2 (n-1)n 2 --1, c=f(0) - + f(−1).- 2 2 したがって, f(-1), f(0), f(1) が整数ならば,すべての整数nに対して, f(n) は 整数である。 (2) g(x)=f(x+2011) とすると g(x)=(x+2011)+α(x+2011)2 +6(x+2011) +c = x³ +a'x² +b'x+c' (a', b', c'() (2010), (2011), f(2012) が整数であるならば, g(-1), g(0),g (1) は整数で g(n-2011) = tem gi AC また ある｡ よって, (1) で示したことから, すべての整数nに対して, g(n) は整数であることがい える。正が壁教ならば、すべてのいに対してdom)は整数、 したがって,すべての整数nに対して, g(n-2011) すなわち f(n) は整数である。

うかる確率の問題なのですが集合の概念を使う必要があるのでしょうか？またなぜ私の解答は間違っているのでしょうか？

高の歩動の指対試こな 2 対 め ① Z ステージ3 入試実戦編 場合の数 本ITEM からは, 「法則」 の活用がメインとなります。 まずは, 「含む」とか「ある か、一見明確な表現について考えます. ここが 「含む」=「少なくとも1つある｣ →補集合を利用 6/3× 桁の自然数を作 例題33 1,2,3,4,5の5種類の数字を並べて n るとき、次の問いに禁えば何があるかじ数字を繰り返し用いてもよいとす。 (1) (2) 数字 1,2をどちらも含む自然数は何個あるか. 着眼) (3) 数字 1,2,3を全て含む自然数は何個あるか. 2/16 (2)(3)×カルノ回使う必等以 (1) 含まれる数字1の個数は, 次のうちどれかです。 全体像を視 0 1,2, 3...,n 求めやすい 求めたい olan i これを見れば、問われている ｢1を含む」には多くの場合があって面倒であり, 含まない」の方が考えやすいことが一目瞭然」 ここは「補集合｣ を活用しましょう。 (2) (1) で得た着眼をもとに, 「包除原理」 を適用しましょう. 2つの集合A,Bが関 する問題ですから,「カルノー図｣を用いて視覚化します。 (3) こちらは3つの集合 4, B, C ですから「包除原理」+「ベン図」で.ただし... 解答作られる自然数の総数は5.… (*) (右図参照)1桁目 2桁目 また,それらから作られる3つの集合||||| A: 「1を含む」, B: ｢2を含む｣ C: 「3を含む」 1 を考える. 2 (1) Aの補集合は A: 「1を含まない」, i.e. 「n 桁が全て 2, 3, 4, 5」. : n(A)=4". ○これと (*) より 求める個数は n(A)=5"-n(A)=5"-4". (2) 求める個数はn (A∩B) である. ○B: 「2を含まない」, i.e. 「n 桁が全て 1,3,4,5」, ANB: 「1,2を含まない」 i.e. 「n桁が全て 3, 4, 5」. .. n(A∩B)=3". ○これらと (*) より 求める個数は n(A∩B)=5"-(4"+4-3") …① =5"-2.4"+3". 91 CHIRUPA 求めたい A A カルノー図で B 3 ¥ 5 B ・求めやすい (③3) ○求める個数は(A∩BC)である。 (2)までと同様にして n(A)=n(B)=n(C)=4". n(ANB)=n(BNC)=n(CNA)=3", ANBOT: 「1,2,3を含まない」 ie. 「n 桁が全て 4.5」 .. n(ANBNC)=2". これらと①より、求める個数は 。 n(ANBNC)=5n-(4+4+4"-3"-3"-3"+2") - 解説 ① ② で用いた公式を集合記号を用いて書くと、次のようになります｡ (作られる 自然数全体の集合を表します. ① :n(A∩B)=n(Un (A∩B)- =n(U) -n (AUB) 除原理 . ド・モルガンの法則 ② : n (ANBNC) =n(U) -n (ANBNC)- 確率では事象 (U)-{n(A)+n (B)-n (A∩B)). =n(U)-n(AUBUC)L =n(U)-{n(A) + n(B)+n(C) ド モルガンの法則 ラ包除原理 -n(ANB)-n(BNC)-n(CNA)+ n(ANBNC)). ①ならまだしも,②をマジメに書くとそれだけで疲れちゃいますから、解答のよう にイキナリ数値を書きましょう. そもそも、 上記等式を“公式”として覚えて使ってい るというより, (2) のカルノー図や (3) のベン図を見ながら個数を過不足なく数えてい 注意1 ITEM 22 でも書いたように、ベン図を用いる際には、“本質的な集合”, つま るという感覚でいて欲しいものです。 り個数を求めやすい集合が輪の内側になるように描かなければなりません。 本間で求 めやすいのはA,B,C の方ですね。なので解答のような描き方になったわけです。 重要 再確認しておきましょう. ベン図を書く人にも工夫 集合の名称 2つの集合絡んだら, 名前を付けてカルノー図 3つの事象ではベン図.ただし輪の内側が求めやすいように. 注意2 本間では ITEM 6 注意でお見せした“主役脇役ダブルカウント”という有名な誤答 をする人が多いので注意すること. A TAATETER. ステージ3 入試実戦編 場合の数 95 → 5.19 類題 33 8/3× 100から999の3桁の整数の中で、 3つの位の中に2の倍数と3の倍数の両方を含むもの の数を求めよ.0=20より0は2の倍数同様に,0は3の倍数) ( 解答解答編p.11)

下から3行目のn=k+1 はどこから出てきたのかわかりません。教えていただけると助かります！

例例題 274 2つの等差数列の共通の 初項1,公差2の等差数列{an} と初項 1, 公差3の等差数列{bn}がある。 (1) 数列{an}と{bn}の一般項をそれぞれ求めよ。 思考プロセス (2) 数列{an} と {bn}に共通して含まれる項を小さい方から順に並べてで きる数列{cn}の一般項を求めよ。 3176 H (2) 未知のものを文字でおく {an}の第1項と{bn}の第m項が等しいとする。 ⇒21-1=3m-2 (L,mは自然数)す 1 (1) 数列 {an}の一般項は an=1+(n-1) 2=2n-1 >21-3m=-1の自然数解 BAINS 1次不定方程式 Action» 等差数列{an},{bn}の共通項は,a=bm として不定方程式を解け 脂質問を募ることの門商法 数列{bn}の一般項は a S bn=1+(n-1)・3=3n-2 (★★) 309 (2) {an}の第1項と{bn}の第m項が等しいとすると, 21-1=3m-2より 21-3m=-1 l=1,m=1 はこれを満たすから 40 2(1-1)=3(m-1) ･① 2と3は互いに素であるから, 1-1は3の倍数である。 よって, l1 = 3k(kは整数)とおくと l=3k+1 これを①に代入して整理すると m=2k+1 lm は自然数より k = 0, 1, 2, nは自然数より,n=k+1 とおくと k=n-1 ゆえに, l=3n-2 (n=1,2,3, ・・・) であるから Cn = d3n-2= -2=2(3n-2)-1=6n-5 〔別解) A IS 2つの等差数列の項を書き並べると {an}: 1, 3,5,7, 9, 11, 13,15, 17, 19, です SSS - ST {6}: 1,4,7, 10, 13, 16, 19, よって、求める数列{cm} は,初項1の等差数列となる。 公差は2つの数列の公差2,3の最小公倍数6である から Cn=1+(n-1)・6=6n-5 一 a=bm 165303 21-3m=-1 -) 2・1-3・1 = -1 2(1-1)-3(m-1)=0 [*+-+*+/ 3k+1≧1 より ≧0 【2k+1≧1 より ≧0 AREN ■nとんの対応は,不定 方程式 ① を解くときに用 整数1, m の組によっ 変わる。 具体的に考える {an},{bn} を具体的に書 き出して、規則性を見つ ける {cm}:1,7,13, 19, EVAYER 3ªð

この問題において、赤線部のβ-αの値を具体的に求めなくても良いのはなぜですか？またそれはどの時点で判断できたら良いのでしょうか？教えていただきたいです。

(成城大) 練習 2642 曲線 y = 2x3 +3x2-12x と y = ax² (a>0) で囲まれた2つの部分の面積が等しいとき 定数αの値を定めよ。 したがって、求める の値は 曲線の共有点のx座標は 2x³+3x²-12x = ax² < 2x2+(3-α)x-12 0 の解を α, β (α <β) とすると, 解と係数の関係 2x2 + (3-a)x-12 0 の判別式をDとすると D=(3-a)² +96>0 となるから、必ず異なる 2つの実数解をもつ。 より 2x³+3x²-ax² - 12x = 0 x{2x² + (3-a)x - 12} = 0 a+B=- 3-a 2 aß = -=-12 = = -6 2 ... (2) 2曲線で囲まれる2つの部分の面 積 S1, S2 が等しいから ゆえに 1, 2 th a-3 2 {(2x³ + 3x² - 12x) = ax²}dx = ["{ax² - (2x³ + 3x² — 12x)}dx - {9(x)-f(x)}dx [{(2x³ + 3x² - 12x) = ax³}dx = [ {ax² - (2x² + 3x² −12x)}dx = 0 ◄ S" ((2x² + 3x² - 12x) = ax²}dx + √((2x³ + 3x² - 12x) = ax²}dx = 0 = " (f(x) — 9(x) dx よって y=ax² YA NY y=2x³+3x²-12x ["{(2x² + 3x² - 12x) = ax²}dx = 0 3 [ ²2 x ² + (3 − a ) ² − 6 x ² ] 3 1/2 (8-a) + ³(8³-a³)-6 (3²-a²) = 0 3 a これらを③に代入して整理すると これを満たす実数解は B₁-a² = (B-a)(B+a){(B+a)²-2aß} (B-a)(a-3) (a²-6a+105) = 0 a=3 = 0 a-3 = (B − a)- •{(²7³)² +12} 2 B²-a² = (B-a){(8 + a)² - aß} = (B-a){(ª = ³)² +6} B²-a² = (B − a)(8 + a) = (B-a). a-3 3 x 1240 [ f(x) dx + [^\f(x)dx =ff(x) dx Sa B (6+2)))) a²-6a+105 = (a-3)² +96> 0 であるから a-3=0

解説がなく、解き方が分かりません😭😭 教えていただけると嬉しいです。

進学力POS-プロファイル https://olt.toshin.com/OLT/Student4_R/Student/OALT_TestPerformance.aspx?ctestid=81744041016+&ctestattempt=1&Mondaikbn = 0 である. 【2】 0と書かれたカードが2枚, 1,2,3と書かれたカードがそれぞれ1枚, 合計5枚のカードがある. ここから2枚を同時に取り､カードに書かれた数 を確認し、次のように得点を決める . 2枚とも0と書かれたカードのときは0点とする. ・少なくとも1枚が0と書かれたカードでないときは、2枚のカードに書 かれた数のうち, 大きい方の数を得点とする. このとき, . 得点が0点である確率は 得点が3点である確率は である. abc 不正解 abc : E 5 6 7 8 9 5 6 7 8 9