Question

Golden Temple

この問題において、赤線部のβ-αの値を具体的に求めなくても良いのはなぜですか？またそれはどの時点で判断できたら良いのでしょうか？教えていただきたいです。

(成城大)
練習 2642 曲線 y = 2x3 +3x2-12x と y = ax² (a>0) で囲まれた2つの部分の面積が等しいとき
定数αの値を定めよ。
したがって、求める の値は
曲線の共有点のx座標は
2x³+3x²-12x = ax²
<
2x2+(3-α)x-12 0 の解を α, β (α <β) とすると, 解と係数の関係 2x2 + (3-a)x-12 0
の判別式をDとすると
D=(3-a)² +96>0
となるから、必ず異なる
2つの実数解をもつ。
より
2x³+3x²-ax² - 12x = 0
x{2x² + (3-a)x - 12} = 0
a+B=-
3-a
2
aß = -=-12 = = -6
2
... (2)
2曲線で囲まれる2つの部分の面
積 S1, S2 が等しいから
ゆえに
1, 2 th
a-3
2
{(2x³ + 3x² - 12x) = ax²}dx
= ["{ax² - (2x³ + 3x² — 12x)}dx
- {9(x)-f(x)}dx
[{(2x³ + 3x² - 12x) = ax³}dx = [ {ax² - (2x² + 3x² −12x)}dx = 0 ◄
S" ((2x² + 3x² - 12x) = ax²}dx + √((2x³ + 3x² - 12x) = ax²}dx = 0 = " (f(x) — 9(x) dx
よって
y=ax²
YA
NY
y=2x³+3x²-12x
["{(2x² + 3x² - 12x) = ax²}dx = 0
3
[ ²2 x ² + (3 − a ) ² − 6 x ² ]
3
1/2 (8-a) + ³(8³-a³)-6 (3²-a²) = 0
3
a
これらを③に代入して整理すると
これを満たす実数解は
B₁-a² = (B-a)(B+a){(B+a)²-2aß}
(B-a)(a-3) (a²-6a+105) = 0
a=3
= 0
a-3
= (B − a)- •{(²7³)² +12}
2
B²-a² = (B-a){(8 + a)² - aß} = (B-a){(ª = ³)² +6}
B²-a² = (B − a)(8 + a) = (B-a). a-3
3
x
1240
[ f(x) dx + [^\f(x)dx
=ff(x) dx
Sa B
(6+2))))
a²-6a+105
= (a-3)² +96> 0
であるから
a-3=0

定積分

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

ゲスト^ - ^

方程式③がβ−α≠0で括れるので値が分かっていなくともこれは最終的に両辺をこれで割ってしまえば消去出来ることが分かります。
そういう考えのもとで、β−αを残しているかと思います。

Golden Temple

理解できました。ありがとうございます！