増減表の1次導関数の増減で、極値の右側と左側の値を何か適当なものを代入していつも増減を判断しているのですが、今回なぜか答えと逆の符号になってしまいました。見直してもなぜダメかわからないので、何か他にいい方法はあったら教えていただきたいです。 （自分はxに1とeの2乗を入れて... 続きを読む

基本的 式の証明と極限 1 x>0 のとき, x>10gx であることを示せ。 (2)(1) を利用して, lim 81X 10gx0 を示せ。 x CHART & SOLUTION 求めにくい極限 はさみうちの原理を利用 00000 (1)(x)=(左辺)(右辺) とし, f(x)>0 を示せばよい。 f(x) の増減表を作り, (最小値)>0 を示す。 基本 92 16 調べるの (2)(1)の不等式を利用して, logx を不等式ではさむ。 x 調べると 解答 (1)f(x)=√x-10gx (x>0) とすると CHART 1 f'(x)= 1 とすると 2√x x √x-2 2x 大小比較 差を作る f'(x) =0 とすると 今から x 0 ... 4 √x=2 f'(x) これを解いて 10 x=4 整理する 極小 x0 における f(x) の増減 f(x) > 2-log4 表は右のようになる。 x=3 さない。 x0 のとき f(x)=f(4)=2-1og4=loge2-104>0 とき す よって, x>0 のとき √x>10gx (2)x→∞について考えるから, x>1 としてよい。 このとき (1) から ← 2=2loge=loge2 また, 2<e<3である から4<e<9 - は 0<logx<√x あるから 値をと で、 各辺をx(0) で割ると 0<- logx < x x 1 Tin (r)-lim lim -= 0 であるから lim logx=0 x-00√x x→∞ x あること き常に INFORMATION する ←はさみうちの原理 mil x81 x logx 例題で証明した lim E=0 において 10gx =t とおくと x=eであり t x→∞ のとき →∞ であるから, lim =0 すなわち limax=0も成り立つ。 817 x400 この2つの極限はよく使われるので覚えておくとよい。 次ページも参照。 PRACTICE 94Ⓡ (1) 0<x<πのとき, 不等式 xCOSx<sinx が成り立つことを示せ。 (2)(1) の結果を用いて lim x-sinx x+0 x2 を求めよ。 [類 岐阜薬大]

数IIの積分の問題です。 どのようにして解けばいいのかが分かりません。

√³ (22²+32-5)dx - for (2x²+3x-5)dx

(1)について質問です。 加法定理を使って解いてみたのですが、答えが違いました。 どこで間違えているのでしょうか？🙏 お願いいたします🙇🏻‍♀️

102 絶対値のついた関数の積分(I) 次の定積分を計算せよ. (1) COS cos(x+4) dr dx 精講 (2)10g(x-2)\dr f(x) (f(x)≥0) | f(x)= { - f(x) (F(x) ≤ 0) このとき気をつけることは を用いて絶対値をはずします。 dx (a<b)となっていたら, a≦x≦bの範囲での の様子を考えれば十分 ということです. また f(x) ≧0 などを考えるとき I. 不等式を解く II. グラフを利用する の2つの手段があることも知っておきましょう。意 解答 π 3π 800)8005-()\ π (1)0≦x≦のとき,x+43 だから π 4 cos(+) (055) cos (+)-cos(x+4) (25) COS π 下の注 dx ..(与式)= (*)=*cos(x+4)dz+cos(x+4) dr COS π COS =[sin(x+4)].* =[sin(x+4)] =2xsin π 2 - 4 -sin-sin-2-√2 4 4

1枚目には4分の1がくるのに、2枚目には2分の1がこないのがよく分かりません。理由とどうやったら判断できるか教えてください

322 数学B (2)この数列の第k項は 1 1 (4k+1)-(4k-3) (4k-3)(4k+1) 4 (4k-3)(4k+1) 1 1 44k-3 4k+1 ゆえに、初項から第n項までの和は 1(1-1)+(孝一)+(1/13) 1/ 1 +…+ An-3 4n+1 1,5.9.- 途中の 11 5'9'13' が消える。 -(1-4n+1)=-4n+1

数B数学的帰納法です。 n＝k+1のとき、と言っているのに漸化式でn＝kとする、とはどういうことですか？

基本 例題 48 数列の一般項と数学的帰納法 0000 a1=-1, an+1=an²+2nan-2 (n=1, 2, 3, ...) で定義される数列{an} に 明せよ。 CHART & SOLUTION ついて,一般項 αn を推測し, それが正しいことを,数学的帰納法を用いて証 [宮崎大 ] p.420 基本事項 1 基本45 漸化式と数学的帰納法 n=1,2,3, で調べて化 (一般化) 実際に n=1,2,3, ……… のとき (a1,a2, Q3, ……………)を求め,その規則性からan を推測し, それを証明する。 基本例題 30のINFORMATION も参照。 解答 α=-1, a2=a2+2・1・α-2-3 a3=az2+2・2・α2-2=-5 a=a2+2・3・α3-2=-7 ゆえに, an=-2n+1 ...... ① と推測される。 すべての自然数nについて ①が成り立つことを数学的帰納 法で証明する。 [1] n=1のとき (−1)2+2(−1)-2 (-3)2+4(-3)-2 (-5)²+6(-5)-2 ←負の奇数、すなわち -(2n-1)=-2n+1 ① で n=1 とすると a=-1 よって, ① は成り立つ。 [2] n=k のとき ①が成り立つと仮定すると 1 ak=-2k+1 AS n=k+1 のとき, 与えられた漸化式から ak+1= (ak)2+2kak-2 AS 漸化式でn=kとする。 M =(-2k+1)2+2k (-2k+1)-2k=-2k+1 を代入。 =-2k-1 1 =-2(k+1)+1 したがって, n=k+1 のときにも①は成り立つ。 [1], [2] から, すべての自然数nについて ① は成り立つ。

青枠で囲んだところで、必要条件と、十分条件を考える時命題で言うところのpとqはどれとどれなのでしょうか。（pとqはp→q、q→pを考える命題のこと）

136 00000 重要 例題 81 方程式の共通解 2つの2次方程式 2x2+kx+4=0, x2+x+k=0がただ1つの共通の実数 解をもつように,定数kの値を定め、その共通解を求めよ。 基本 77 CHART & SOLUTION 方程式の共通解 共通解をx=α として方程式に代入 2つの方程式の共通解を x=α とすると,それぞれの式に x=α を代入した2a2+ka+4=0, 2+α+k=0が成り立つ。これをαkについての連立方程式とみて解く。 「実数解」という 条件にも注意。 解答 共通解を x = α とすると 2a2+ka+4=0 …... ①, a2+α+k=0 ② ①-② ×2 から (k-2)α+4-2k=0 すなわち (k-2)a-2(k-2)=0 よって (k-2)(a-2)=0 ゆえに k=2 または α=2 [1] k=2 のとき 2つの方程式は, ともに x2+x+2= 0 その判別式をDとすると ・③ となる。 D=12-4・1・2=-7 D<0 であるから, ③は実数解をもたない。 x=α を代入した①と ②の連立方程式を解く。 ← α2 の項を消す。 共通の実数解が存在する ための必要条件であるか ら, 逆を調べ, 十分条件 であることを確かめる。 ax2+bx+c=0の判別 式は D=62-4ac 10 TS よって, k=2は適さない。 [2] α=2 のとき ②から 22+2+k=0 よって k=-6 このとき2つの方程式は 2x2-6x+4=0 ... ①', x2+x-6=0 ・②' ←2(x-1)(x-2)=0, となり, ①'の解はx=1, 2 ②' の解はx=2, -3 よって、確かにただ1つの共通の実数解 x=2をもつ。 [1], [2] から k=-6, 共通解はx=2 I (x-2)(x+3)=0 INFORMATION

(1)cosの求め方を教えてください (2)正弦定理使えますか？

重要 例題 141 四面体上の折れ線の最小値 11 四面体 ABCD があり, AB=BC=CA=8, AD=7 である。 COS ∠CAD= のとき、次のものを求めよ。 14 (1) 辺 CD の長さ 000 (2) ∠ACD の大きさ 基本 121,137 (3) 辺 AC上の点Eに対して, BE+ED の最小値 CHART & THINKING (1) (2) 辺 CD, ∠ACD 空間の問題 平面図形 (三角形) を取り出す を含むのは ACD (1), (2) 求めるものを含む三角形はどれかを 見極めよう。 A (3) 空間のままでは考えにくい。 △ABCと △ACDを1つの平面上に広げ, 平面図形と して考えよう。 E ⇒ B< D PE B (3) 辺 AC の D C まわりに広げる C 解答 (1) ACD において, 余弦定理により CD2=7+82-2・7・8cos∠CAD=25 CD> 0 であるから CD=5 (2) ACD に余弦定理を適用して A ( COS∠CAD= 11 8. 8 S)xS D B 82+52-72 COS ∠ACD= 8 2.8.5 2 C よって ∠ACD=60° 14 E A 1 (3) 右の図のように,平面上の四角 ← 四面体 ABCD の側面 8 形ABCD について考える。 7 3点B, E, D が1つの直線上に あるとき, BE+ED は最小になる。 よって, BCD において, 余弦 定理により B △ABC, △ACD を平面 上に広げる。 1 E D 8 60°60° 最短経路は展開図で 2 120°- 50 点を結ぶ線分になる。 C BD2=82+52-2・8・5cos <BCD=129 BD> 0 であるから BD=√129 <+2BCD = ∠ACB + ∠ACD=120° したがって, 求める最小値は √129 1 cos 120°--- 2 NFORMATION 折れ線の長さの最小値 3)BE+ED は折れ線の長さと考えられる。この長さは, 折れ線がまっすぐに伸び して線分になるとき最小となる。 2点間の距離の最小値は, 2点を結ぶ線分の長さ ACTICE 141 ■の長さがαの正四面体 OABCにおいて,辺AB, BC, OC それぞれ点P,Q,Rをとる。 頂点から,P,Q,R の順 点を通り、頂点Aに至る最短経路の長さを求めよ。うら 0 A P Q 1 R 11

どうしてこれで等式になるのでしょうか、？

補充 例題 129 三角形に関する等式の証明 とき、 の二等分線と辺 めよ。 基本 120 121 △ABCにおいて,次の等式が成り立つことを証明せよ。 (1) asin Asin C+bsin BsinC=c(sin' A+sin*B) (2) a(bcos C-ccosB)=b-c CHART & SOLUTION (1) p.194 基本事項 1.2| 三角形の辺や角の等式 辺だけの関係に直す 利用して、(2)で に代入する。 等式の証明はか.178 INFORMATION の1~3の方法がある。 (1) はるの方法,(2)は1の方 法で証明しよう。 (1) 正弦定理から導かれる sinA= 2R など (Rは外接円の半径)を, 左辺と右辺それぞれ (2)余弦定理から導かれる cos C= a2+62-2 などを左辺に代入する。 2ab 解答 A (1)△ABC の外接円の半径をRとすると,正弦定理により asin Asin C+bsin Bsin C A:AE b 4R2 C AD // EC と したがって, 与えられた等式は成り立つ。 EC=∠BAD 別解 ACE から よって (左辺) =2Rsin' Asin C+2Rsin Bsin C =2R sin C(sin2A+sin2B) △ABCの外接円の半径をR とすると, 正弦定理により a=2RsinA, 6=2RsinB,c=2RsinC a c =a° 2R 2R 2R 2R ={(2R)²+(20 = c(a²+b²) c(sin'A+sin°B)={(2x) b C c(a2+62) 4R2 辺だけの関係に直す a sin A= 2R' b sin B= 2R' =c(sin'A+sin'B)=(右辺) sin C=T 2 を代入 2R inf. 別解では,角だ 関係に直してうまくし が、数学の範囲で b c を sinAなどの けの関係に直しても 後の変形の知識が不 B:AC

⑵のよって、一般項は〜のところ三つ目の＝までは理解できるんですが、最後ああなる理由がわかりまへん

366 基本 例題 9 等比数列の一般項 次の等比数列の一般項を求めよ。ただし、(3)の数列の公比は実数とする。 00000 (2)公比 12,第5項が4 (1)-3, 6, -12, (3) 第2項が6, 第5項が162 p.365 基本事項 + CHART & SOLUTION 等比数列 まず初項αと公比 初項α公比の等比数列{a} の一般項はαn=ar (3)初項をα,公比をとして与えられた2つの条件からα, r 解答 (1)初項が-3,公比がすなわち-2である。 (2)この数列の初項をα とすると,第5項が4であるから ゆえに,一般項は a =4 よって,一般項は ・の連立方程式を導く。 an=-3(-2)"-1-3(-2)-1-(-6)-1 としないように注意! ゆえに a=64 an=64 2 = 1\n1 26 中 2n-1- (3)この数列の初項をα,公比をrとすると -=27-n ar=-6 ①, ar=162••• ...... ②から arr3=162 これに①を代入して6・=162 ゆえに 3=-27 (-1) rは実数であるから 2 r=-3 ①に代入して よって ゆえに,一般項は a.(-3)=-6 a=2 705 _an=2(-3)-1 r"=p" については,次のことが成り立つ。 CACTICE 99 nが奇数のとき r=p" (pは実数)⇔r=p nが偶数のとき "=p(≧0) ⇒r=±p 64=2 であるから, \1 64(-1/2)は2" の形に変 形できる。 FORE 出 ←r=-27 から r3+33=0 ゆえに (r+3)(r2-3r+9)=0 よって=-3, 2-3+9=0 A ここでAを満たす実数 rは存在しない。 基本 例題 10 3つの実数a, 数列 a, b, ci CHART & 等比数列 α, ①公比を ② 62= この例題でに を参照。 解答 a+b+c 数列 α, ②, は ③カ このと また, よって x2-2 ゆえ よっ 別解 等比数列で、公比は実数とする。 指定されたもの 初が128

この積分をどのように解いたら良いのか分からないので教えて頂きたいです。よろしくお願いいたします。

ak dx. より (2) 大 2 2 + (dy dy12 dt for №12A+4 dt [結(大+吉)] 3 0 Jに (17