Question

かなかな

青枠で囲んだところで、必要条件と、十分条件を考える時命題で言うところのpとqはどれとどれなのでしょうか。（pとqはp→q、q→pを考える命題のこと）

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00000
重要 例題 81
方程式の共通解
2つの2次方程式 2x2+kx+4=0, x2+x+k=0がただ1つの共通の実数
解をもつように,定数kの値を定め、その共通解を求めよ。
基本 77
CHART & SOLUTION
方程式の共通解
共通解をx=α として方程式に代入
2つの方程式の共通解を x=α とすると,それぞれの式に x=α を代入した2a2+ka+4=0,
2+α+k=0が成り立つ。これをαkについての連立方程式とみて解く。 「実数解」という
条件にも注意。
解答
共通解を x = α とすると
2a2+ka+4=0
…... ①, a2+α+k=0
②
①-② ×2 から (k-2)α+4-2k=0
すなわち
(k-2)a-2(k-2)=0
よって
(k-2)(a-2)=0
ゆえに
k=2 または α=2
[1] k=2 のとき
2つの方程式は, ともに x2+x+2= 0
その判別式をDとすると
・③ となる。
D=12-4・1・2=-7
D<0 であるから, ③は実数解をもたない。
x=α を代入した①と
②の連立方程式を解く。
← α2 の項を消す。
共通の実数解が存在する
ための必要条件であるか
ら, 逆を調べ, 十分条件
であることを確かめる。
ax2+bx+c=0の判別
式は D=62-4ac
10 TS
よって, k=2は適さない。
[2] α=2 のとき
②から 22+2+k=0
よって k=-6
このとき2つの方程式は
2x2-6x+4=0 ... ①',
x2+x-6=0
・②'
←2(x-1)(x-2)=0,
となり, ①'の解はx=1, 2 ②' の解はx=2, -3
よって、確かにただ1つの共通の実数解 x=2をもつ。
[1], [2] から k=-6, 共通解はx=2
I
(x-2)(x+3)=0
INFORMATION

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

和

あえて言えば
p:①かつ②、
q:①-②×2
です

ここは必要だの十分だのと言うより
同値でない「一方通行」だから逆を確認する、
という方が簡単かと思います