どうやって、(-Xの3乗＋3x＋2)から(x＋1)2乗(x -2)になったのですか？

INFORMATION 定積分の計算の工夫 L S=S_,(-x+3x+2)dx の計算はか.303 基本例題201 と同様に、次のように -1 1 るとスムーズである。 xb(80+x80S •2 S=S²₁ (−x³+3x+2)dx=-S²₂ (x + 1)²(x-2) dx -1 2 = −S²₂ (x+1)³²{(x+1) −3}dx= −S²₁ {(x+1)³−3(x+1)²} dx = (x+1)*** -1 -1 S 4 81 = [(x + ¹)² -(x+1)³]* = -8¹ +27=27 1 4 4 4) 0 : ² (0-8)² = 2:2 1 24 MOT 14 • 405 (1 3)1-

場合の数でよく、 2つのサイコロを～ といったものを見るのですが、2つのサイコロを投げた時の目の出方は36通り。 これってサイコロの区別をしてるからですか？

青線の部分の意味が分かりません。2－√5は勿論負の値をとりますがそれがなぜこのような式になるのですか？

(2-√5)x> -1 連立不等式 を解け。 ||3x-5|<8 2-√5 <0であるから, (2-√5)x > -1 より -1 1 x < √5 +2 2-√5 √5-2 すなわち x<√5 +2 ① ...... |3x-5|<8より -8<3x-5<8 -3<3x<13 13 よって -1<x<3 13 √5 + 2 = 4.2 …, - 4.3 ･･･ より 3 したがって, ①と②の共通範囲は -1<x<√5 +2 ② 13 √5 +2<¹/³3 -1 (2) √5 +2 13-3 x

(2)がよく分かりません。

0 126 三角方程式の解の個数 aは定数とする。 0≦0<2πのとき, 方程式 sin 0sin0aについて 要 例題 この方程式の解の個数をαの値によって場合分けして求めよ。 note 00000 (2) (1) この方程式が解をもつためのαのとりうる値の範囲を求めよ。 COLUTION CHART O 方程式f(0)=a の解 2つのグラフy=f(0),y=a の共有点 sino=k(0≦0 <2π) の解の個数 =±1で場合分け k=±1 のとき の個数は 1個, k<-1, 1<k のとき -1<k<1のとき 2個 0個 解答 |sin20-sin0=a t²-t=a sin0=t とおくと -1≤t≤1 ただし, 0≦0<2πから したがって, 方程式 ① が解をもつための条件は, 方程式 ② が③の範囲の解をもつことである。 方程式 ② の実数解は,2つの関数 y=²-1=(1-2) ² - 1 y=a y=a のグラフの共有点の座標であるから, から1sas2 (21) の2つの関数のグラフの共有点の t座標に注目すると, 方程式 ① の解の個数は,次のように場合分けされる。 [1] a=2 のとき, t = -1 から 1個 ◆sind=t を満たす 0の 値の個数はtの値1個 に対して [2] 0<a<2のとき, -1 <t < 0 から 2個 3個 [3] α=0 のとき, t = 0, 1 から t=±1 のとき 1個 -1 <t<1のとき 2個 [4] -1<a<0 のとき, 0<t<1に交点が2個存在し、そ 4個 れぞれ2個ずつの解をもつから 2個 [5] a=-1 のとき, t=1/12 から 4 0個 [6] a < -1, 2 <a のとき PRACTICE･・・ 126④ [類大分 aを定数とする。 方程式 4cos'x-2cosx-1=αの解の個数をπ<x≦”の集 clear 基本125 193 0≦0<2πのとき -1≤sin≤1 12 y=f-ti 4章 16 三角関

(1)はなぜ2次方程式使うんですか？

00000 重要 例題 112点 (x+y', xy) の動く領域 (1) x,yがすべての実数値をとるとき, 点 (x+y, xy) の存在する領域を図 (2) 実数x,yがx2+y2≦1 を満たしながら変わるとき, 点 (x+y, xy) の 示せよ。 [類 東京工大] 動く領域を図示せよ。 SOLUTION 点 (x+y, xy) の動く領域 X=x+y, Y=xyとおき、実数x,yが存在するための X, Y の条件を考える・････ (1) X=x+y, Y = xy とおくと, x, yは2次方程式 2-Xt + Y = 0 の実数解。 この2次方程式が実数解をもつ条件を考える。 (2) x2+y2は,x, yについての対称式であるから, X, Y で表すことができる。 ただし, (1) の範囲に注意。 解答 (1)X=x+y, Y=xy とおくと,x,yは2次方程式 ◆ 2 数 α, β に対して p2-(x+y)t+xy=0 すなわち t-Xt+Y=0 の実数解である。 この2次方程式の判別式をDとすると D=X2-4Y p=a+B,g=aB とすると, α, βを解とす る2次方程式の1つは x2-px+q=0 D≧0 から Y≤1x² YA y=1x² 変数をx, yにおき換えて xy平面上に図示するの で, x,yに文字をおき 換える。 y≤1x² したがって 求める領域は、 右の図 の斜線部分。 ただし, 境界線を含む。 (2) x2+y2≦1 から したがって 1/12 x 2-1-123 変数をx, yにおき換えて y²-1/ x²-01/201 y= ys exy平面上に図示するの で, x,yに文字をおき 換える。 したがって 求める領域は, ① ② の共通部分であるから、 右の図の斜 線部分。 ただし, 境界線を含む。 11/12/12/12/3とする 4 ² x=± √2 PRACTICE･･･ 112④ 座標平面上の点(p,q)はx2+y2=8,x≧0 y≧0で表される領域を動く。 点(p+α, pg) の動く範囲を図示せよ。 関西大] 170 CHART (x+y)2-2xy≦1 すなわち X'-2Y≦1 YA y= 2

方程式をy＝m(x−3)におくんじゃなくて、y＝−kx/3＋kに置き換えても大丈夫ですか？

102 次の問いに答えよ。 *(1) 点(3,0)から楕円 x°+4y?=4に接線を引くとき, その接線の方程式 →p.48 応用例題2 を求めよ。 (2) 双曲線2.x2ーy?=-2 に傾きが1の接線を引くとき, その接線の方程 式を求めよ。また,そのときの接点の座標を求めよ。

直線をxで代入するんじゃなくてyを代入しましたけど、答えが合わなかった。なんでxで代入しないといけないですか？

第1節 2次曲線 29 *98 楕円x+4y=4 と直線x+2y=1 の2つの交点を P, Qとするとき, 線分 PQの中点 Mの座標を求めよ。 →閣p.51 補充問題3

斜辺はなぜaになりますか？

2横円 2定点からの距離の和がー定てある点の軌跡 焦点 2a a':12+c3 a FGO) c a (-59F -a-C C h PF+ PF'- 2a e-c8g +11at0ts20 たPの方程式 ーん 2 プラマイまとめて もよい ニ a2 de

基本95の(2)で2枚目の写真は自分の解答だけど、この解き方でも大丈夫ですか？

(1) 2つの円は,異なる2点で交わることを示せ。 が外 95 2つの円の交点を通る円·直線 基本例題 2つの円 x°+y?=5 147 城大) の,(x-1)°+(yー2)?=4 O0 *2 ………2について の) 2つの円の交点を通る直線の方程式を求めよ。 2つの円の交点と点 (0, 3) を通る円の中心と半径を求めよ。 項4 「基本 78, p.133 基本事項5 CHART 2曲線f(x, y)%3D0, g(x, y)=0 の交点を通る曲線 方程式 kf(x, y)+g(x, y)=0 (kは定数) を考える (1) 2つの円の半径と中心間の距離の関係を調べる。 (2). (3) 曲線 k(x+yー5)+(x-1)*+(y-2)?-4=0 が, (2) 直線, (3)点(0, 3) を通る円 となるように,それぞれkの値を定める。 OLUTION 3章 12 解答 (1)円0, 2の半径は順に V5,2である。 2つの円の中心 (0, 0), (1, 2) 間の距離をdとすると d=\1°+2?=5から よって, 2円0, ② は異なる2点で交わる。 (2) k(x°+y°-5) +(x-1)?+(y-2)?-4=0(kは定数) とすると,3は2つの円①, ②の交点を通る図形を表す。 これが直線となるのは k=-1 のときであるから, ③に k=-1 を代入すると 「V5-2|<d<、5 +2 lrーグ<d<r+r 3 *3がx, yの1次式とな ②半径2 るように,kの値を定め る。 +(x-1)?+(yー2)?-4=0 整理すると (3) 3が点(0, 3) を通るとして, 3に x=0, y=3 を代入して整理 すると inf.(2) の直線の方程式と のの円の方程式を連立さ せて解くと、直線と円の交 点,すなわち2つの円① と2の交点が求められる。 -k(0°+3°-5 +{(-1)+1°-4}=0 x+2y-3=0 X k=-1 半径5 1 k= 2 よって 4k-2=0 29 (xー+y-= 9 これを3に代入して整理すると 29 B612 2 中心( 半径 よって 3 円,円と直線,2つの円一 1_2

黄色で印をしたとこで、なぜ2√7・√1＋1の２乗で長さ求めれるの？？

基本 例題91 円によって切り取られる線分の長さ 円x+y°=16 が直線 y=x+2 から切り取る線分の長さを求めよ。 円(x-2)+(yー1)=4 と直線 y=-2x+3 の2つの交点を A, Bとするとき 140 ID.132 基本事項2 CHART lOLUTION 本 円と直線(弦) 中心から弦に垂線を引く 共有点 → 実数解 方針 円の弦の両端と中心を結ぶと二等辺三角形 ができるから,中心0から弦 ABに垂線 OMを下ろす と, Mは弦の中点 → A0AM に三平方の定理を適用 して弦の長さを求める。 1 B 2 M~ 径 A 半径|0 0とABの距離 AB=2AM=2,/0A°-OM° 解答は方針日,別解は方針2を用いる。 解答 円と直線の交点を A, Bとし,線分 AB の中点をMとする。 線分 OM の長さは,円の中心 (0,0) と 直線 y=x+2 の距離に等しいから 4 4 B ←原点と直線 ax+ by+c=0 の距離は =/2 M/2 -2 OM= VT+(-1) 円の半径は4であるから AB=2AM=2OA?-OM =2/4°-(/2)=2,/14 「4 14x 実(Va+6 ① 0 inf. 直線y=mx+n上に ある線分 AB の長さは,2 点A,Bのx座標をそれぞ れg, Bとすると AB=|8-aW?+m… |中 A 別解 直線の方程式を円の方程式に代入して整理すると x?+2x-6=0 B/ のの判別式をDとすると D 1+m° m よって,①は異なる2つの実数解をもつ。その実数解を α, Bとすると,解と係数の関係から A α+8=-2, aB=-6 18-|" 円と直線の交点の座標は(α, α+2), (8, B+2)であるか 2次方程式0の解は x=-1±、7 であるから =-1-、 8=-1+/7 とすると より ら,求める線分の長さは V(B-a)+{(B+2) (α+2)} =\2(B-a)=\2{(α+B)-4aB} =2{(-2)?-4(一6)}=2/14 三 AB=2/7-1+1F=2 PRACTCE…91° ABの長さを求めよ。 「東京電徳大