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数列{a} の初項から第n項までの和 S, が
教科書
p.47
Sn=2an-n
で与えられるとき,次の問いに答えよ。
(1) a」を求めよ。
(2) Sn+1 と Sn を考えることにより,an+1を an の式で表せ。
(3) an をnの式で表せ。
ガイド(1) ai= Si より,a=2a-1 であることから, a, を求める。
(2) Sn=2amーn ……① より,
2-0を計算し, Sn+1-Sm=an+1 であることを利用する。
(3) (2)で求めた漸化式を解く。
》(1)
Sn+1=2an+1-(n+1)…②
解答
Sn=2anーn 0
n=1 のとき,a=Si であるから, a=2ai-1 より,
a」=1
(2) ①より,
Sn+1=2an+1-(n+1) ②
2-0より,
Sn+1- Sn=2(an+1-an)-1
Sn+1- Sn=an+1であるから, )
an+1=2(an+1-an)-1
また。
よって,
an+1=2an+1
(3) an+1=2an+1 を変形すると,
an+1+1=2(an+1)
したがって,数列 {an+1} は,
初項 a+1=2, 公比2の等比数列となり、
α=2a+1 を解くと、
α=-1 だよ。
an+1=2·2"-=2"
よって、
an=2"-1
