基礎問
147 不定方程式 ax+by=c の解
精講
x,yを整数とする.
方程式 2.x-3y=7････① について,次の問いに答えよ。
①をみたす (x, y) の1組を見つけよ.
(1) (x,y) を (α, β) とするとき, 2α-3β=7.･････ ② が成り
たつ
①,②を利用して,r-αは3の倍数で,y-β は2の倍数で
あることを示せ.
①をみたす (x, y) をすべて求めよ.
①をみたす (x, y) に対して,r-y2の最小値とそのときの
[リの値を求めよ。
ax+by=c(a,b,c は整数でaとbは互いに素) をみたす (x, y)
を求めるとき,この基礎問の(1)~(3)の手順に従います。
(1)未知数2つ,式1つですから, (x, y) は1つに決まりません。
すなわち,たくさんあるということです. その中から, 何でもいいから1組
見つけなさいということです.
(2)x-aやy-β をつくるためには,①-②をつくるしかありません.
(3) x-αは3の倍数だから, x-a=3n (n: 整数) とおけます.
もちろん、(a,β) は (1) で決めた値です.
(4)(3), x,yを1変数nで表しているので,r-y2 もんで表せます.
(1) x=2,y=-1 とすると,
2x-3y=2・2-3・(-1)=7
よって,①をみたす (x, y) の1組は (2,-1)
注 このほかにも(x,y)=(5, 1, -1, -3) などがあります.
(2)
2x-3y=7...①
{²za-3B=7
①-②より, 2(x-α)=3(y-β)
