積分の問題です。 黄色マーカーで引いたところの解説をお願いします

基礎問 220 第6章 積分法 120 回転体の体積 (V) 曲線 y= (vi-va) (x≧0, a>0) について,次の問いに答えよ. (1) この曲線のグラフをかけ. (2) この曲線と y=α によって囲まれた部分を直線y=a のまわりに 1回転してできる体積を求めよ. (1) 75 をもう一度読みかえしてみましょう. 今回は, 極値 を求める必要がありますから, y' は因数分解することになります. .......... それならば,このまま微分した方がよいでしょう. (2)今まで学んだ回転体の体積は、回転軸がx軸かy軸でした。今回は、y=a です.いったいどのように考えればよいのでしょう。 目標は, 「回転軸をx 軸に重ねる｣ことです. 精講 (1) x>0 のとき y'=2(√x - √a). (√x - √a)=x^² (√x - √a) 1-√a =1- 解答 x→+0 ->0 I √a 2x√x よって, グラフは下に凸で,増減は表のようにな り, limy'=-8, limy =∞ よりグラフは右図. 218 0 ... a y' 4 a 0 + V 20 (2) 曲線と直線y=α の交点のx座標は (√x - √a)² = a√x - √√a = ± √a √x=0, 2√a :: x=0, 4a 8/4 a 10 x=0のとき､ y'の分母= 0 となるので a 注 limy' を調べているのは, y' が x=0 で定義されていない, すな x→+0 わち, 微分可能でないからです. このことは, グラフにおいて点 (0, a) でy軸に接するようにかかれている部分でいかされています。 IC 求める体積Vは〈図Ⅰ>の斜線部分を直線y=a のまわりに回転させ! た立体の体積だから、この図形を軸の正方 向に-4だけ平行移動した <図II〉の斜線部 (141) 分をx軸のまわりに回転すればよい。 "". V=1 = πf^^{(√x - √a)²-a³dx = n₁²(x-²√a √x)²dx 演習問題 120 *4α = nſ₁² (x² − 4√a x² + 4ax) dx ポイント x³ 8√a 5 5 8.25 = π[3³ = nα² (43 4³ 242 15 = ・+2・4 5+2.4²) -ла³(10-24+15) -x²+2ax² πa³ 14g YA 0 a 221 32 15 数学ⅡI・B48 ポイントによれば, 平行移動の公式は次の通り。 注 y=(√x-a-a y=f(x) をx軸の正方向にp,y軸の正方向に qだけ 平行移動すると, y-q=f(x-p) となる. Anx 回転軸がx軸やy軸でないとき, 平行移動して回転軸を軸や軸に重ねる (1411) 4 エ y=cosx のグラフと, 点 (0, 1) と点 (2m, 1 ) を結ぶ線分で囲ま れた領域を直線y=1のまわりに1回転してできる立体の体積V を求めよ. 79 第6章

この問題の2.3が分かりません 解説お願いします

B問題 351 次の関数のグラフをかけ。 *y=log2x+1~る軸方向に My 10g22 すすむ (2) y=log2(x+1) X (3) y=log₁(x-1) 2+ 年 る 2 U 20

4step　数3 グラフの端を求めるとき、YではなくYダッシュの極限を求めるのはなぜなのか教えていただきたいです。 よろしくお願いします。

概形をかけ｡ =x≤2n) を求めよ STEP <B> け。 y=x+ _y=ez y= - 次の関数の極値を求めよ。 x-7 () 4 1 x2+1 (8) y=-x2 y=2 cosx-cos²x (0≤x≤2π) (2) f(x)=x²-2x²+1 *(4) f(x)=x+2sinx (0≦x≦2) y=2x+√x²-1 √y=x+√1=x² y=ecosx (0≤x≤2n) であることを示せ。 また, f(x) 第6章 微分法の応用 (3) この関数の定義域は, 1-220から -1≤x≤1 1<x<1のとき y'=1+ また -2x 2√1-x² y' 1 (1-x²)√/1-x² y"=-- y'=0とすると √1-x² = x 両辺を2乗して 2x2=1 ①よりx≧0であるから の増減とグラフの凹凸は、次の表のようになる。 -1 y -1 + √√2 lim y'= lim (1 1-0 11-0 1 √√2 0 limy'= lim 1+0 3-1+0 1<x<1のとき √1-x2 ズニー *** N 1- x 1 1 X x2 ① X /1-² 18 よって、 グラフの概形は[図] のようになる。 (4) この関数の定義域は, 1-x≧0 から -1≤x≤1 関数yは奇関数であるから、クラ して対称である。 また lim y'=-co, limy 111+0 よって, グラフの概形は[図のより (3) √√√2, -1 y1 2 √√2 11 01 √2 14 参考 (3) (4) のように、 xが定義域の ときのy'の極限を調べることによって の端に近づくとき曲線の接線の傾き な値に近づくか(または無限大に発 調べることができる。 (5) この関数の定義域は x≠0 y' = − 1 x² +e y'=0 とすると -20 0<x<2π yの増減 x y 2 "----- + ---- er X3 2x+1 + y

［数学III 関数のグラフの概形］ 348の解答で紫で線を引いている所はなぜ0≦x≦2だったのが、0<x<2で場合分けを行っているのでしょうか？

(1) y=log|logx-1| 348 次の曲線の概形をかけ。 (1) y2=x2(4-x2) 349 xy平面上に, 媒介変数t で表され

(3)ではなぜ除外点が(0,2)になるのですか？

mを実数とする. xy平面上の2直線 mx-y=0…①, について,次の問いに答えよ. x+my-2m-2=0 ...... ② (1) ①,②はm の値にかかわらず,それぞれ定点A,Bを通る. A,Bの座標を求めよ. (2) ①,②は直交することを示せ。垂直に交わること (3) ①, ② の交点の軌跡を求めよ. (1) 37 で勉強しました. 「mの値にかかわらず｣ とあるので, 「m について整理」して、恒等式です。 (2) 36 で勉強しました. ② が ｢y=｣の形にできません。になる。 (3) ①,②の交点の座標を求めておいて, 45 の要領でやっていこうとするとか なり大変です.したがって, (1), (2)をうまく利用することになりますが, 45 の . Ⅲを忘れてはいけません |精講 解答 (1) の値にかかわらず mx-y=0 が成りたつとき, x=y=0 .. A(0, 0) ②より(y-2)+(x-2)=0 だから .. B(2, 2) (2) m・1+(-1)・m=0 だから, ①,②は直交する. 1,2,①, ② の交点をPとすると ① 1② より, ∠APB=90° よって,円周角と中心角の関係よりPは2点A, Bを直径の両端とする円周上にある. この円の中 心は ABの中点で (11) | m について整理 |36 yk 2 A/ (1,1) B 2 x また, AB=2√2より, 半径は√2 よって, (x-1)2+(y-1)²=2 ここで, ①はy軸と一致することはなく, ②は直線y=2 と一致する

数Bの空間ベクトルの問題です。 なぜ下線部のようになるのですか？ 解説をお願いします！

227 四面体 ABCD において, 辺ABを1:2に内分する点 をKとし, △ACD, ABCD の重心をそれぞれ G1, G2 とす る。 (1) AB=1, AC =c, AD = d とするとき, G, G2 を 6, dを用いて表せ。 (2) 四角形 AKG2 G1 は平行四辺形であることを示せ。 C, 言 BS K G2 A G1 C 219 D

(2)について教えて欲しいです🙇‍♂️

mを実数とする. ry平面上の2直線 mx-y=0… ①, x+my-2m-2=0 ......② について,次の問いに答えよ. (1) ①,②はm の値にかかわらず,それぞれ定点A,Bを通る A. B の座標を求めよ. (2) ①, ② は直交することを示せ . (3) ① ② の交点の軌跡を求めよ. (1) 37 で勉強しました. 「mの値にかかわらず｣ とあるので, 「m について整理」して, 恒等式です。 COND (2) 36 で勉強しました. ② が 「y=」 の形にできません。になる (3) ①, ② の交点の座標を求めておいて, 45 の要領でやっていこうとするとか なり大変です.したがって, (1), (2)をうまく利用することになりますが,45 横 IIIを忘れてはいけません. |精講 解答 (1) の値にかかわらず mx-y=0 が成りたつとき, x=y=0 .. A(0, 0) ②より(y-2)+(x-2)=0 だから .. B(2, 2) (2) m・1+(-1).m=0 だから, ① ② は直交する. (3) (1) (2)より ①, ② の交点をPとすると ①1② より, ∠APB=90° よって, 円周角と中心角の関係よりPは2点A, Bを直径の両端とする円周上にある 心はAR |mについて整理 |36| YA 2 B

(2)では|r|>1としてるのに(3)では|1/r|>1としていないのは何故ですか？ 又、(2)の[1]おいてr<-1において振動するのに1<rと同じようになぜ極限0に収束とできるのですか？

194 は定数とする。 次の数列の極限を調べよ。 (1) r>0 のとき {2+r"} { (3) r=0 のとき 第1節 数列の極限 53. *(2) キ±1 のとき {+}}

なんのために最後に漸近線を求めているのですか？

重要 例題 78 z を 0 でない複素数とし,x,yをz+ 1 2 =x+yi を満たす実数,αを0<a</ を満たす定数とする。z が偏角 αの複素数全体を動くとき、xy平面上の点 (x, y) の軌跡を求めよ。 *U*2301 [類 京都大] 重要 26 解答 指針偏角αの範囲が条件であるから、極形式z=r (cosatisina) (0) を利用。 ■iの形に表すことにより,x,yをそれぞれr, aで表す。 12+- 2 つなぎの文字を消去 して,x,yだけの関係式を導く。なお、>0や0<a< より, xの値の範囲に制限がつくことに注意。 ゆえに TOADE z=r(cosatisina) (x>0,0<a</1/2)とすると ゆえに 0<a</であるから よって r+ cos a' - 1 (cosa + sina) == ² ( cos x r= 2 COS r 2 -=1から 練習 ③78 1 z+ -=r(cosa+isina)+¹(cosa-isina) 2 * = = =(r+ + )cosa+i(r— — )sina cosa, y=(r-1) sina x=(x+1/27) 1 x 2 cos a x² Acos2a 双曲線 w=z+. =r+ r a² cos a よって x≧2cosa また, >0 から ゆえに したがって 求める軌跡は osax + cos a>0, sin a>0 y sina y 表す図形 (2) r sin a したがって 4sin² a ここで, >0であるから, (相加平均) (相乗平均) により x²y² COS α -(tana)x<y<(tana)x 4 cos' a 4sin'α ;-). - / - ( 1 x =2 2. 等号はr=1のとき成り立つ。 _____________> +___>0, sina sin a COS α sina sina)=1 COS α COS α 63401 -=1のx≧2cosα の部分 < 絶対値や偏角αの範囲 に注意。 1 2 =-{cos(-a)+isin(-a)} ◄2+1/2=x z+ =x+yi 検討 第4章で学ぶ極 限の知識を用いて, y が実数 値全体をとりうることを調べ ることもできる。 lim m(x-¹)=∞, に lim (-1)=-∞であり, sinα> 0から lim y=-∞, limy = ∞ r+0_ →0 点 (x, y) の軌跡は次の図の 部分。 (0) y=(tana)x を求めている -2cosa / 2cosa y=-(tana)x 0 でない複素数zが次の等式を満たしながら変化するとき, 点z+-が複素数平 面上で描く図形の概形をかけ。 (1) |2|=3-(2) |z−1|=|z-i| 139 2章 10 媒介変数表示

なんのために最後に漸近線を求めているのですか？

重要 例題 78 w=z+ a² 0でない複素数とし,x,yをz+ 1 2 を満たす定数とする。 zが偏角 α の複素数全体を動くとき、xy平面上の点 (x,y) の軌跡を求めよ。 時で [類 京都大] 重要 26 指針偏角αの範囲が条件であるから,極形式z=r(cosa+isina) (0) を利用。 1を の形に表すことにより,x,yをそれぞれr,αで表す。 1 z + 解答 Iz=r(cosa+isina) (r>0, 0<a<- >60120 * ゆえに 0<a < 1/2 よって つなぎの文字を消去して, x, yだけの関係式を導く。 なお,00<a</ より、xの値の範囲に制限がつくことに注意。 HOOVER 練習 78 1 z+ -=r(cosa+isina)+(cosa-isina) r+ = (r++)cosa+i(r— — )sina r= cosa, y=(r1) sina x=(y+/-/- であるから r COS α x 双曲線 x ゆえに COS α r 2 x y x 1² ² = 1 +5 +²1² (cosa + sina) (cosa = 2 COS x #601 cos a x≧2cosa -=rt π <<//) とすると よって また,0から ゆえに したがって、求める軌跡は 表す図形 (2) + 4 cos² a cos a>0, sin a>0 y sin a r y sina 図 x2 したがって 4 cos² a 4sin² a ここで,y>0であるから、(相加平均) (相乗平均) により 1 + 122 √/1.7 CAGLEDEYSET =x+yi を満たす実数,αを0<a< π x cos a -(tana)x<y<(tana)x 4sin'a + sinα =2 y > 0, x COS α T y sin a y sin a 等号はx=1のとき成り立つ。 J=1 x y ->0 sin a COS Q -=1のx≧2cosα の部分 絶対値や偏角αの範囲 に注意。 700円 =—-{cos(—a)+isin(—a)} ◄z+1=x+yi r38670 10. 面上で描く図形の概形をかけ。 (1) |2|3|z-1|=|z-i| 検討 第4章で学ぶ極 限の知識を用いて, yが実数 全体をとりうることを調べ ることもできる。 lim(r-1)=∞, lim 1 (₁ - ²) = -₁ ∞であり、 +0 sinα> 0から 17 新東線 limy=-∞, limy=8 r+0 点 (x,y) の軌跡は次の図の を求めている T2= -2cosa yay=(tana)x (1) -------- 1 0 でない複素数zが次の等式を満たしながら変化するとき, 点2+ / 2cosa y=-(tana)x が複素数平 139 2章 10 媒介変数表示