Question

シャイニ－

(2)では|r|>1としてるのに(3)では|1/r|>1としていないのは何故ですか？
又、(2)の[1]おいてr<-1において振動するのに1<rと同じようになぜ極限0に収束とできるのですか？

194 は定数とする。 次の数列の極限を調べよ。
(1) r>0 のとき
{2+r"}
{
(3) r=0 のとき
第1節 数列の極限 53.
*(2) キ±1 のとき
{+}}

500
+3
1}=-*
の必要+
!
E
必要+
は定数とする。 次の数列の極限を調べよ。
与えられた数列が収束するための必要十分
条件は -1<1+2x1
よって
ゆえに
よって
1+2x51061+420
faxから
(3x+1x2x+1)>0
-1<x²-5x+5 から
ゆえに
xs-1₁-1<x
① ② の共通範囲を求めて
xs-1. -<*
②与えられた数列が収束するための必要十分条
件は
(x+12x+1)≧0 かつ
ゆえに
x=0 または -1<x-5x+5≤1
gi-5x+620
よって
ゆえに x<2, 3<x.... ①
ゆえに
(x-2)(x-3)>0
ゆえに
5 +51 から g-5x+450ết
よって (x-1)(x-4) ≤0
ゆえに 1≦x≦4 ②
① ② の共通範囲を求めて
1≦x<2､3<x≦4
したがって 求めるxの値の範囲は
x=0, 1≦x<2, 3 <x≦4
194 (1) [1] 0<r<1のとき
limy" = 0
#00
1+3x
1+2 30
lim
よって, 1/12に収束する。
[2] r=1のとき
limy"=1
lim-
1
2+1 2+0 2
1
…… ⓘ
よって、1/3に収束する。
[3] >1 のとき
lim 7" = 00
=
1
lim
800 2+r"
エキ
= 0
第1節 数列の極限 53.
(3)
よって、 0にする。
(2) [1] >1 すなわちく 1.1<rのとき
||<¹
ゆえに
+21
<1であるから lim-0
lim+2
1-²-1
ゆえに
[1]
解答編
よって、主に収束する。
[2] <1 すなわち -1<x<1のとき
lim "=0
-
1+2(²)
1-(-)
* +2 0 +2
lim+20+2=-
よって, -2に収束する。
==(-)*****
--1+0=1
lim
1
<1 すなわちすく1.1くのときっ
lim-lim()*
よって, 0 に収束する。
[2] 12=1 すなわち=1のとき
=0
-63
よって1に収束する。
[3] 12 1 すなわち0<x<1のとき
lim=lim()*=
よって、 正の無限大に発散する。
[4] [12-1 すなわち -1<0のとき
数列{は振動して、極限はない。
=0
195 与えられた数列が収束するための必要十分条
件は
-1<- -≤1
x2+2p
p>0よりx+2p>0であるから, 不等式の各
辺にx+2p を掛けて
x-2p<x≦x2+2p
x2px から x2+x+2p>0 . ①
xx2+2p から x-x+2p≧0.... ②
2次方程式x2+x+2p=0, x²-x+2p=0 の判
別式をそれぞれ D, D2 とすると,2つの不等式