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重要 例題 21 等式を満たす多項式の決定
00000
X 多項式(x)はすべての実数をについて(x+1)-f(x)=2xを満たし(0)29)
[一橋大 ] |
基本1
であるという。このとき, f(x) を求めよ。
指針 例えば,f(x)が2次式とわかっていれば,f(x)=ax2+bx+c とおいて進めることが
できるが,この問題ではf(x)が何次式か不明である。
→f(x)はn次式であるとして, f(x)=ax"+bx"-1+...... (α≠0, n≧1) とおいて
進める。f(x+1)-f(x) の最高次の項はどうなるかを調べ, 右辺2xc と比較するこ
とで次数nと係数αを求める。
5
基本事
1
2
2
なお,f(x) = (定数) の場合は別に考えておく。
3
TRA
f(x)=c(cは定数) とすると, f (0) =1から f(x)=1
解答
これはf(x+1)-f(x) = 2x を満たさないから,不適。
よって, f(x)=ax+bx"'+...... (a≠0, n≧1)(*) とす
ると
この場合は,*) に含ま
れないため、別に考えて
いる。
0=1
f(x+1)-f(x)
n-1
=a(x+1)”+b(x+1)*¯¹+….....— -(ax" + bx"-1+......)
I+x=s
=anxn-1+g(x)
ただし,g(x)は多項式で,次数はn-1より小さい。
f(x+1)-f(x)=2xはxについての恒等式であるから,最
高次の項を比較して
n-1=1
D, an=2
......
②
①から
n=2
ゆえに、②から
a=11-
①
(x+1)*①
=x"+nC1x"-1+nCzx-2+...
のうち,
a(x+1)"-ax” の最高次
の項は anx”-1で残り
の頃はn-2次以下とな
る。
anxn-1と2xの次数と
係数を比較。
このとき, f(x)=x2+bx+c と表される。
f(0)=1から c=1
-===
またf(x+1)-f(x)=(x+1)^+6(x+1)+c-(x2+bx+c)c=1としてもよいが,
=2x+6+1
結果は同じ。
よって
2x+6+1=2x
この等式はxについての恒等式であるから
b+1=0
係数比較法。
すなわち
b=-1
したがって
f(x)=x-x+1
FI
POINT 次数が不明の多項式は,n次と仮定して進めるのも有効
