(1)でyの値域を調べているのは何故ですか？ この値域と逆関数の定義域が一致することを確かめるためですか？それだけなら値域を書かなくてもいい気がします

重要 例題 158 逆関数と積分の等式 ex (1)f(x)= y=f(x)の逆関数y=g(x) を求めよ。 ex+1 (2)(1) f(x),g(x)に対し,次の等式が成り立つことを示せ。 00000 Sof(x)dx+S70g(x)dx=bf(b)-af(a) f(a) [東北大 ] /P.262 基本事項 1, 基本 10 指針 (1) 関数y=f(x)の逆関数を求めるには,y=f(x) をxについて解き, xとyを交換 する。 (p.25 基本例題 10 参照。) (2)(1)の結果を直接左辺に代入してもよいが,逆関数の性質 y=g(x)=x=g(y) を利用。 すなわち y=g(x)⇔x=f(y) に注目して, 置換積分法により,左辺の第 (f(b) 2項 Sing(x)dx を変形することを考える。 (1) y= ex+1 解答 ①から (ex+1)y=ex ゆえに ①の値域は 0<y < 1 (+) (1-y)ex=y xについて解く。 (1+x) (x)=(xx) ・②+y まず, 値域を調べておく。 ②から ex = 1-y y よって x=log ex=A⇔x=logA 1-y as (1) 求める逆関数は,xとy を入れ替えてg(x)=log XC 定義域は 0<x<1 1-x f (b) (2)ISg(x)dx とする。 YA f(b) T 1 f(x) は g(x) の逆関数であるから, y=g(x) より ゆえに x=f(y) f(a) 12 S また dx=f'(y)dy g(f(a))=a,g(f(b))=b 0 a b x (1 x f(a) →f(b) xとyの対応は右のようになる。 y a → b よって ゆえに 参考 (2) の結果は,f(x)= f(x) It is am v=fys (y)dy=[ys (3)]-fs(v)dy a =bf(b)-af(a)-Sof(x)dx Sof(x)dx+S70g(x)dx=bf(b)-af(a) ex 20306-10 15 ex+1でなくても,一般に, 関数f(x)の逆関数が存在して s=Sof(x)dx, TSg(x)dx (2) の等式の左辺の積分 は、上の図のように表さ れる。 (0<a<bのとき)

⑵って エックスの増加量すなわち分母がa+3h−aで分母がhにならないからkを使い正しいものに直せるかという狙いという解釈であっでますか？ 合っててもわかりやすく解説が欲しいです。腑に落ちません

280 補充 例題 179 関数の極限値と微分係数 (1) 次の極限値を求めよ。 x²+x-6 x+8 [湘南工科大] (イ) lim x-x-12 x+2 X (ア) lim f(a+3h)-f(a) (2) 極限値 lim 0-4 h x113 f' (a) で表せ。 X (関西大) p.266 基本事項 2 CHART & SOLUTION 関数の極限値 limf (x) x-a 基本はxにαを代入 となるときは約分 lim k0 f(a+k)-f(a)=f(a)も利用できる k (1) (ア) そのままxに-2を代入すると, 分母・ 分子ともに0になる。 よって、分母・分子 ともx+2 を因数にもつ(因数定理)ので,x+2で約分してから代入する。(イ)も同様。 (2)→0のとき 3h0 だからといって (与式)=f(a)は誤り!)(S+= 3h=k とおいて, 微分係数の定義を利用する。 円生 合 (1)(ア) lim x3+8 (x+2)(x²-2x+4) : lim -2x+2 x--2 x+2 A EXERC 138 関数 しい 1390 (1) (2) B 140° 141 ← x → -2とは,xが 2以外の値をとりなが 1420 = lim (x²-2x+4)=(-2)^-2・(-2)+4=12+{ら2に近づくこと。 x112 (イ) lim (x+3)(x-2) lim x-2 -= lim x-3x-4 x²+x-6 x-3x2-x-12 x=-3(x+3)(x-4) --3-2-5/15 (2)3h=k とおくと, h0 のときん→0であるから f(a+3h)-f(a) f(a+k)-f(a) limf(a+3h)- h→0 -=lim k-0 lim3./(a+h)-f(a)=3lim 3 よって, xキー2 である から、分母分子を x+2 で割って約分してよい。 STE= 慣れてきたらおき換え をせずに 与式) =lim3 h0 f(a+3h)-f(a) =3f'(a) f(a+k)-f(a) k-0 k k-0 k としてよい。 =3f'(a) PRACTICE 179 13 (1) 次の極限値を求めよ。 143 3h HINT (7) lim x-3 3-27 (2) f(x)=x3 のとき, lim x3-1 (イ) -4x- め 東北学院大]

（2）がなぜ9通りになるのかがわかりません 教えてください

題 題 第88回 数と論理 確率 解答 目安時間 50 分 レベル ★★★★ ノートを使って取り組もう! わからないときは解答解説ページの「解答の指針」を見てから解いてみよう。 1 数直線上を点Pが1ステップごとに,+1または-1だけそれぞれ1/2の確率で移動する。 数直線上の値が3の点をAとして,PがAにたどり着くと停止する。このとき,以下の 問いに答えよ。 (1)Pが原点Oから出発して、ちょうど5ステップでAにたどり着く確率を求めよ。 (2)Pが原点Oから出発して、ちょうど6ステップで値が2の点Bにたどり着く確率を 求めよ。 □(3)Pが原点0から出発して, 8ステップ以上移動する確率を求めよ。 反復試行が ('08 東北大 経済)

積分の問題なのですが（2）の（ⅰ）の考え方が分からないです。教えて頂きたいです。よろしくお願いいたします。

7.2 19/14 (1) 正九角形の3つの頂点でできる。C (=84) 個の三角形のうち, 鈍角三角形は全部 でいくつあるか. (2)は正の整数とする. 正 2n+1角形の3つの頂点でできる 2+1 C3 個の三角形のう ち, 鋭角三角形は全部でいくつあるか.

249番の問題で解答以外の解き方はありますか？

の解をもつような定数αの値の範囲を求めよ。 [14 昭和大 ] 実数 αの範囲を求めよ。 *249 すべての実数xに対して不等式 22x+2+2*a+1-a>0 が成り立つような [09 東北大] *250 正の数xyが (10g2x)+(10gzy) 210g22/2y x2 を満たしながら動くと

私の解答の⑶と⑶別解で ₙ 　Σ k/2ᵏ の式が違うのはなぜですか ᵏ⁼¹

EX (1) 和 1+x+x++x" を求めよ。 @53(2) (1) で求めた結果をxで微分することにより, 和 1+2x+3x²+... + nx-1を求めよ。 (3)(2)の結果を用いて,無限級数の和を求めよ。ただし,lim=0であることを用い てよい。 n=1 2n 11-400 [類 東北学院大 ] (1) x=1のとき, 求める和は初項 1. 公比xの等比数列の初項か←公比1. 公比=1で場 ら第n+1項までの和であるから 合分け。 1+x+x+....+x=- 1-xn+1 1-x .. ① x=1のとき 1+x+x+......+x"=n+1 ← (初項){1-(公比) 項数 } 1 - (公比 ) ←1x(n+1) (2) x=1のとき, ①の両辺を xで微分すると 1+2x+3x²+......+nxn-1 -(n+1)x"(1-x)-(1-x"+1)・(−1) ←(x)=x 0-1 = (*) (1-x)2 ←(1/2)=2 u'v-uv v² よって 1+2x+3x2+ … +nxn-1. = nxn+i−(n+1)x +1 (1-x)2 ② ←(*)の右辺の分子を整 理。 x=1のとき 2 3 n 22 2n-1 1+++ +-+1+1) = 両辺を2で割ると 1+2x+3x2+･･ ·+nx"-1 =1+2+3+....+n= n(n+1) (3)x=1/12 を ②の両辺に代入すると n ←の公比部分は 1/2であることに注目し、 x = 1/23 を代入。 x= 12+2/+2 3 n n +・ + 23 k= すなわち (77 k n n+1 =2 2n+1 +1) ゆえに k=12k n よって 2" n=1 n 2" n 2012/2/2+1) k limlim(+1)-2 (1-0-0-0+1) =2 7=2(2711-2+1+1) 2n ←部分を求めた ことになる。

このおよびはカツですかまたはですか？ 後およびは文の前後で意味が変わりますか

90. 右の図のように,道路が碁盤の目のように なった街がある. 地点Aから地点Bまでの長さ が最短の道を行くとき,次の場合は何通りの道順 があるか.り出し (1) 地点 Cを通る. (2)地点Pは通らない。 (3)地点P,および地点 Qは通らない. A C P 09 (東北大 ( 東北学院大)

この答えを教えてほしいです！！

△OAB の辺 OA, OB上にそれぞれ点P, QをOP:PA=4:1,0Q:QB=5:2 となるようにとる.このとき, AQ と BP の交点を R, OR の延長がAB と交 わる点をSとする. OA=d, OB=とするとき,以下の問いに答えよ. → (1) Oとで表せ . (2) OR RS を求めよ. (東北福祉大)

この問題の解き方を教えて頂きたいです🙏 よろしくお願い致します🙇‍♀️

<Bランク> 長さ1の線分ABを直径とする円周 C上に点Pをとる。ただし、点Pは点A. Bとは一致していないとする。 線分AB上の点Qを∠BPQ = - となるようにとり, 線分BPの長さをxとし、線分PQの長さをyとする。 (1) yをxを用いて表せ。 (2)点Pが2点A. Bを除いた円周上を動くとき,yが最大となる x を求めよ。 (東北大)

教えてください

[15 東北大〕 50でない複素数zに対して, w=z+4 とする。また, iは虚数単位とする。 Z (1)の極形式を z=r(cos0+isin) (r>0,0≦02) とし, wの実部を x, 虚部をyとする。 このとき, xとyをと0を用いてそれぞれ表せ。 (2)複素数平面上で点P(z) が | z=1 を満たしながら動くとき,点Q(w) が描く図形を求め, 複素数平面上に図示せよ。 (3)wが実数となるためのzの条件を求め,その条件を満たす点P(z) の全 体が表す図形を複素数平面上に図示せよ。 (4)P(z) (3) の図形上を動くとする。 点R(α) が α-(4+6i)|=1 を満 たしながら動くとき, 線分PRの長さの最小値を求めよ。 [22 静岡大]