思考プロセス
例題 335 二項分布の平均と分散・標準偏左
(1) 1個のさいころを200回投げるとき, 1の目が出る回数をXとする。
Xの平均と標準偏差を求めよ。
(2) 確率変数 X の分布が二項分布 B(20, p) であり, Xの分散が5である
とき,の値および X の平均を求めよ。
公式の利用
確率変数 X が二項分布 B(n, b) に従うとき
E(X) = np, V(X) = np(1-p)
p=□
Action» 二項分布 B(n, p) では,平均np, 分散 np (1-p)を用いよ
四(1) 確率変数 X は,二項分布 B(200, 1/18) に従うから
100
E(X)=2009
3
6
← - (1) ではn=
200・
o(X) = 200-(1-¹).
(2) 確率変数 X は二項分布B (20, p) に従うから
V(X) = 20p(1− p)
ここで,V(X)= 5 であるから
20p(1-b) = 5
出目
Ecos
4p2-4p+1 = 0
1
(2p− 1)² = 0
2
これは 0≦p≦1を満たしているから適する。
b = 1/2のとき,Xの平均は
-
よって p =
5/10 A (k = 0, 1,
3
....
9
² (8)9 (A)
2
ONA
Point...二項分布の意味
二項分布の確率 n Cog", nCipgn-1, nCr pr q"-",
bron
X = k となる確率
P(X = k) l
P(X = k)
200-k
= 200 C ² ( 1 ) * (1 - 1) 50 *
²
..., 200)
5
103
6
av
200･
E(X)=20. 1/10 確認する。
★☆☆☆
1
6
10/10
6
求めたが 0≦p≦1
を満たす値であることを
... LA
'', nCnp" は二項定理
5/10
3
NA 3*
n-r
(q + p)" = nCoq" +nC₁pq¹ +•••+nCr p q +•••+nCnp"
の右辺の各項に等しい。 ここで, p+g = 1 であるから、上の式に代入すれば二項分布
の各確率の和が1に等しいことが確かめられる。
なお,B(n, b) の B は,二項分布を意味する binomial distribution の頭文字である。
