Question

ﾒﾀﾓﾝ

解説と解答教えてください🙇‍♀️

右の図において, 円Oは, ZA=90° の直角三角形 ABCの内接円であり, 点Pは辺BCの接点である。
(1) 円0の半径をrとして, 辺AB, ACの長さをァで表せ。
Cと
B~-
P-6--C
(2) 円0の半径を求めよ。

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

たこ焼き

(1)考え方
接線の性質より、接点と円の中心を結ぶ直線は、接線と垂直ですよね。
今回は、円Oが三角形ABCに内接しているから、辺AB、辺BC、辺CAは円Oの接線ですよね。
すなわち、接点をQ、Rとすると画像のようになる。

すると、辺ABの長さを求めるには、BRの長さとRAの長さが知りたい、
　　　　辺CAの長さを求めるには、CQの長さとQAの長さが知りたい、ということに気づく。
ということで、BRの長さとRAの長さ、CQの長さとQAの長さを求めようとする。

すると、四角形AROQは、角ORAと角RAQと角AQOが90°であるから(ゆえに角ROQも90°になりますよ)、OR=OQ=rだから、
四角形AROQは正方形だとわかる。すなわち、【RAの長さとQAの長さはr】だとわかる。
また、BRの長さを求めるには、ROの長さが分かっているから、三角形BORに着目して三平方の定理より求められないか、と考える。同様に、CQの長さを求めるには、QOの長さが分かっているから、三角形COQに着目して三平方の定理より求められないか、と考える。

ということで、BOの長さとCOの長さを求めようと考える。
　※BOの長さがわかれば、三角形BORに着目して三平方の定理より、BRの長さがわかりますよね。
　 COの長さがわかれば、三角形COQに着目して三平方の定理より、CQの長さがわかりますよね。
そのためには、三角形BOPに着目すると、三平方の定理よりBOの長さがわかる、
　　　　　　　三角形COPに着目すると、三平方の定理よりCOの長さがわかる、ということに気づく。

以上より、
(1)を解くには、
まず、三角形BOPに着目して、三平方の定理よりBOの長さを、三角形COPに着目して、三平方の定理よりCOの長さを求める。
次に、三角形BORに着目して、三平方の定理よりBRの長さを、三角形COQに着目して、三平方の定理よりCQの長さを求める。
次に、AB=BR+RA、AC=AQ+CQより、辺ABと辺ACの長さがわかる。

分からなければ質問してください

ﾒﾀﾓﾝ

ありがとうございます！