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Cの3人に分けると
なくとも一つは球をもらうも!
304
9/30X
3/25×
基本 例題 30 整数解の組の個数 (重複組合せの利用)
00000
(1) x+y+z=7 を満たす負でない整数解の組 (x, y, z) は何個あるか。
(2) x+y+z=10 を満たす正の整数解の組 (x, y, z) は何個あるか。
p.294 基本事項 3.基本29
CHART & THINKING
整数解の組の個数 ○と仕切りの活用
(1) 直接数え上げるのは大変である。 問題を読みかえて, x, y, z の異なる3個の文字から
重複を許して7個の文字を取り出すと考えよう。 すなわち 7個のと2個の仕切りの
順列を考え、 仕切りで分けられた3つの部分の○の個数を,左から順に x, y, zとする。
例えば
〇〇〇一〇〇一〇〇には
がそれぞれ対応する。
(x, y, z)=(3,2,2)
○○には (x, y, z)=(0, 2, 5)
(2)x,y,zが正の整数であることに注意。 (1)の考え方では0となる場合も含むから
x-l=X, y-1=Y, z-1=Zは?
とおき, 0 であってもよい X≧020Z0 整数解の場合 ((1) と同じ)に帰着させ
る。 これは, 10 個の○のうち, まず1個ずつをx, y, z に割り振ってから, 残った7個の
○と2個の仕切りを並べることと同じである。
また,別解のように、10個の○と2個の仕切りを使う方法でも考えてみよう。
解答
(1) 求める整数解の組の個数は, 7個の○と2個のを1列
に並べる順列の総数と同じであるから
9C7=9C2=36 (個)
(2) x-1=X, y-1=Y, z-1=Z とおくと
X≧0, Y≧0,Z≧0
このとき, x+y+z=10 から
AQUARIUM×ARI alog
別解 求める整数解の組の
個数は, 3種類の文字 x
zから重複を許して7個
る組合せの総数に等しいか
ら 3H7=3+7-1C=C
7/20
要 例題 31
次の条件を満た
(1) 0<a<b<
CHART & T
大小関係が条件
(1) 条件を満たす
4個の数字
(2)
(2)
=9C2=36(個)
(X+1)+(Y+1)+(Z+1)=10
←x=X+1,y=Y+1,
よって
X+Y+Z=7, X≧0, Y≧0,Z≧0
求める正の整数解の組の個数は、 A を満たす 0 以上の整数
解 X, Y, Zの組の個数に等しいから (1) の結果より 36個
別解 10個の○を並べる。
○○
(A)
z=Z+1 を代入。
[別
このとき,○と○の間の9か所から2つを選んで仕切りを
入れ A|B|C
例えば
00100000
としたときの, A, B, C の部分にある○の数をそれぞれx,
y, zとすると,解が1つ決まるから C2=36 (個)
1000
PRACTICE 30 3
③
(1)x+y+z=9 を満たす負でない整数解の組 (x, y, z) は何個あるか。
(2)x+y+z=7 を満たす正の整数解の組 (x,y,z) は何個あるか。
P RACI
次の条件
(1) 04
は (x,y,z)=(2,53 )
を表す。
