【至急】教科書の章末問題がまじでわからないです。 なにみてもわからないです。 全ての問題全般的に教えて頂きたいです。

問題 1. 全体集合と、その部分集合 A, B について、 n(U)=100,n (A)=60,n(B)=40,n (A∩B)=15 であるとき、次の集合の要素の個数を求めよ。 5 (1)Ā (2) AUB (3)ANB (4) ANB →p.15,16,17 第1章 ● 場合の数と確率 10 2. 100から200までの整数のうち、4でも6でも割り切れない数の個数を 求めよ。のさいころを p.17 3.大小2個のさいころを投げるとき,次のようになる場合は何通りあるか。 (1) 目の積が奇数 (2) 目の積が偶数 (3)目の和が偶数 11. 2. 3. →p.21, 22 01 15 4. 大人5人,子ども4人が1列に並ぶとき,次のような並び方は何通りあ るか。 (1) 両端が子どもである。 (3) どの子どもも隣り合わない。 (2) 大人と子どもが交互に並ぶ。 1. 3, 5) C=(1,2,3,4,6 →p.27,28 5. 先生2人と生徒6人が円卓のまわりに座るとき,次のような並び方は何 通りあるか。 (1) 先生2人が隣り合う。 (2)先生2人が向かい合う。→p.30 6. 12人の生徒を次のように分ける方法は,何通りあるか。 20 (1)7人,3人,2人の3組に分ける。れる事象を全事象、空 合 (2)4人ずつ3組に分ける 起こる事象で (3)6人,3人,3人の3組に分ける。 → p.36 7. 多面体の各面を,次のように塗り分けるとき, 塗り方の総数を求めよ。 なお,多面体を回転して各面の塗り方が一致すれば同じ塗り方とみなす。 すい (1) 正四角錐の5個の面を, 赤青黄白緑の5色で塗り分ける。 (2) 立方体の6個の面を,赤青黄白緑黒の6色で塗り分ける。

次の条件によって定められる数列anの一般項を求めよ。 a1=1, an+1=an+2^2 とあるのですが、項数がなぜn-1になるのか教えてください🙇‍♀️

例1) aplantlantan n22のとき ankait gut n- 22k k=1 初2 2

２番の青線のとこでこのように置き換えをするのはこの参考書だとこの問題だけでした、この置き換えは主に外心の時にしか使われないのでしょうか、よろしくお願いします🙇‍♂️

文系・理系ごとの進路 例題 346 外心の位置ベクトル 3 ベクトルと図形 *** 609 9 平面上のベクトル 考え方 解 DA △ABCにおいて, AB = 8,BC=7,CA=5 とする. 辺ABの中点を M,辺 AC の中点をN, △ABCの外心をPとするとき,AB=1, として,次の問いに答えよ. (1)積を求めよ. (2)MPLAB, NP⊥AC を利用して, APをこを用いて表せ . (1) BC=AC-AB=c-6 であることを利用する. (2) AP=s+tc とおいて MP・AB=0, NPAC=0 を計算し, s, tを求める. (1) |BC|=|-|²=|c|²−26•c+|b|² 72=52-2・C+82 より, 6.c=20 (2) Ap=sh+tc とおくと, Amods-5 C MP=AP-AM-s6+1c-126 = (s-1/2)+ NP=AP¬AÑ=sb+tc¬½=sb+ (t−1) c AMP⊥AB より, JA NA HA MAB= 2 B MP･AB=0 だから80015 M³· AB={( s − ½)6 + tc}·6=(s) 16+tb-c S 1 A =64s-1/2)+20t=0より16s+5t=8 ……D NP⊥AC より, NPAC = 0 だから, 8. M. N5 IP 7 C 点Pは外心だから PM は AB の垂直 二等分線となる. つまり, MP⊥AB より, MP･AB=0 NPAC={st+(t-12) c}=sbc+(t-1/2)PLA =20s+25t- =0より, 8s+10t=5 ･･････ ② 1-1/2)=0 ①,②より,s=11. t=1/26 だからA=2+2 AP 解) AP=s+t とおく. 24' 15 A 24 15 内積の性質より,AP･AM=4°=16,APAN=(2-25 ← 内積の図形的意味 (p.576, p.612 したがって,AP・AM= (s6+tc). 12/26/1/2s1+1/216.2 Column 参照) = =32s+10t=16 ......3555 AP•AN=(s6+tc)2c=12s6-c+1/2HCP =10s+ 25-25 A 4 11 2 ③ ④ より,s= t= だから, 24' 15 2 AP=1/16- 15 TAG

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等比数列,階差数列 in n ② (a)とし、数列{a}の初項から第n項までの和をS とする。 (1) 数列 (an} の初項はア,公比はイであり, S=ウ]" (2) 数列 (6) を次のように定義する。 b=2(n-k+1)ak =na+(n-1)az+......+241+α (n=1,2,3,…………) 第2項が6, 初項から第3項までの和が26である等比数列で, 公比が1より大きいものを タイムリミット15分 40 数学ⅠAⅡB・C PLAN100 76. 《等比数列 階差数列》 75. 数列の基本問題> (ア) 1 (イ) (ウ) 2 (エ) 4 ■エである。 (オ)3 (カ) 2 (キ) 3 (ク) 1 解答(ア)2 (2 (カ) 2 (ウ) 3 (イ) 3 (キ) 1 (エ) 1 (ク) 3 (ケ) 2 (ケコ) 55 サシス) 385 (センタ) 225 (チツ) 21 ◇◆思考の流れ◆◇ たとえば,b=a, b2=2a1+az, bs=3a,+2az+αs である。 数列 {bm} の一般項を求めよう。 数列{bn}の階差数列を{c,d とする。 Cn=bat-bであるから.c したがって、数列{6} の一般項はbm=1 オ (2) b=4-3-1 を満たす。 カ ウキ -n- ク である。 オ の解答群 0S 0S 2 (テト) 32 (1)=3+(n-1)・2=2+1 S=(3+(2+1)} =(2n+4)=n2+2n 等比数列{beの公比は3(*1)であるから S=-3-1 4(3-1)=2(3-1) (3) k=-10-(10+1) 1 等比数列の初項をα. 公比をとして, a2=6, S=26からαの値を求める。 その際, Sy=a+ar+ar と表すと計算がらくになる。 (2) 数列{p.} の階差数列を {9} とすると, Potipo と定義される。 を求めるには,n2のとき P2 を用いる。 なお,"=1のとき, 求めた α が成 り立つかどうかを確認する必要がある。 (1) 数列 (4) の初項をα, 公比をすると amar"-1 2=6 から ar=6...... ① ar=62atartar=26 両辺にかける (2) Sn+1 ③S+1 p.122 2, p.123 6 A-1 10-11-55 -10-(10+1)-(2-10+1) また, 初項から第3項までの和が26であるから a+ar+ ar²=26 ゆえに 10-11-21 =385 6 -5-(5+1) (1+rr²=26 両辺にを掛けると ar(1+r+r²)=26r ①を代入して 61+r+r=26r 整理すると 32-10r+3=0 すなわち =(56)=2 225 ar(ltr)+a=26 artartar:26ratitrtr2)=26 1196 +65 + br² = 265 131-16-20r+6=0 1393121or+3=0 138-1)(r-3)=0 sn=2(3n-1)=かろー ころん 2 (n+1)arthaztitzantant 1 = 3.3 1>18) {na₁+ (n-1)az+-+2an 1=3a=2 n- 2.3m=an aitazt…tantantl (一)+(-)-(-) (-3x37-1)=0 >1であるから=3 ① から α-36 よって a=2 よって、 数列{4.の初項は2,公比は3である。 初項から第n項までの和 S, は 2(3-1) =3"-1 S.3-1 ココ -(na1+(n-1)a2+...... +4.} =(n+1)+naz+......+2+x+1 (2) c=b+-b. =1 1-1-(-2)} -1-33-3 =a1+a2+....+a+4+1 =S+1 よって CS1 (②) ゆえに, (1) からc=3+1-1 b=a=2 (-1/2)の求め方 (-12) は、初項 1. 公比-12の等比数列の初 また したがって, "≧2のとき 1回目 項から第6項までの和であるから 11 (金) b=b₁+c=2+ (3+1-1) 931-1にしたらKt 9(31) =2+ 3-1-(n-1) = (n-1)+1=h ア イ ウ エ オ カ キ 233 22 6 2 2 2 3 3 なのになぜんー? -3" この式はn=1のときも成り立つ。 よって、 数列 (b.}の一般項は 3 b その

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(2学) 宿題 三角関数のグラフ 0 タイムリミット15分 28 数学ⅠAⅡB・C PLAN 100 関数f(x)=1/2 (sinx-√3 cosx)2-1 について考えよう。 (sinx-v/3cosx=アムsin(x- 1 (1) sinx-√√3 cos x = x= であるから、 ゆえに cos2 f(x)=ウン sin² 9 25 3 -1 である。 さらに変形すると, よって cosl= f(x)=エ cosオ x ・・・・・・ ① と表される。 sin=cos/tan= 生徒用) y=sinkoの周期2 =cosKOの用期 27 k y=tankoの周期…英 よってf(x)=- =2(sin x cos x) =2sin(x-3) x)= {2sin(x-3)-1 =2sin(x-1)-1 cos 20-1-2sin20 5 53. 解答 (カ) 0 sin を 点 (2)①から、関数 y=f(x) の周期は (2) sin+cos d 1/3の周辺を2乗すると ク である。 また, y=f(x) のグラフは, y=エ cos(オx)のグラフをx軸方向に る。 sin' + 2sin @cos0 +cos20= =1 ケ だけ平行移動したものであ よって 2sin #cos0=- 8 9 4 ク ケ の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。) ゆえに sincos/g また sin' + cos'0 2 π π ③ 2 π 3 π 2 ⑤ π ⑥ =(sin 0 + cos 0)3-3sin 0cos0 (sin 0 + cos 0) 2 3' 12 13 (i) 次の図の点線でかかれたグラフはどれも y=cosx のグラフである。 y=f(x) のグラ フとして適切なものを,次の①~③の実線でかかれたグラフのうちから一つ選べ。 (3) sin- in=sin(+7)= ▷ p.88 2. 3. 4 cos sin- =-1 (-3)= cos(-2x)=cos= ① tan 11/21=tan ( 242+2r)=tan22=-1 (2) (1) 5 f(x)=-cos2(x-3) って、関数y=f(x)の周期は 2 = (1) また、f(x)のグラフは,y=-cos2xのグラにな フをx軸方向にだけ平行移動したものであ る。 (0)132(x-3) (ii) y=f(x)のグラフは、y=COSxのグラフをx 軸に関して対称移動し, y軸をもとにしてx軸方 向へ倍に縮小して,さらに,x軸方向にだ け平行移動したものである。 f(x)=-cos2(x-3)=-cos (2x-2) ..... ① ①の " 2倍 よっ 0 よー ② k> (4) sin(0+) cos(0+) y=-cos2(x-3) y=-cos2x と なぜ符号④? は 0. 0 す -cos(+)sin (0+) v 7-1041 である。 ある。 D.880 0.0 0+ in(+1)-(+1)=sin(1) -/1/12 52. ③ <三角関数のグラフ) 解答 (ア)(イ)3 (ウ) 2 <エ) - (ケ) ③ ② Aix カ ア イ ウ H オ キ 232- 2 2 2 3 2 2 (オ)24 1/3 (7) (コ) ② ◇◆思考の流れ◆◇ (2) 次の三角関数のグラフは, y=cos のグラフ を移動または拡大・縮小したものである ただし, 40とする。 y=-cos0/ y=cos @p y=acoso → 0軸をもとにしてy軸方向へ α 倍に拡大縮小 y=cosr y= C0sr よって, y=f(x)のグラフは ② 参考 (2)(ii) ②がy=f(x) のグラフとして正しいこ とは,次のように⑩, ①, ③ が正しくないことか らも確認できる。 . について 関数 y=cosx の周期は2mであることからの 実線でかかれたグラフを表す関数の周期も2mであ る。 関数 y=f(x) の周期はであるから, 不適。 .①について f(0)=-cos cos(-3)=>0 よって、不適である。 (一)=-cos(一一号)=1 0軸に関して対称移動 軸方向にかだけ平行移動 . について y=cosal 軸をもとにして軸方向へ 1 ク -倍に拡大・縮小 ク ケ コ 632 また、 関数 y=cosal の周期はである。 2 3 3 3 4/15 a 10において,実験でかかれたグラフ 上に y=1となる点はない。 よって、不適である。 (同じ理由で ①が不適であることもいえる。) なにをいっているのかさっぱりわかりません。

(1)の漸化式の問題なのですが4^ｎ＊bｎのやり方が分かりませんでした。解答を見ても画像3のように途中式がなくどこまで合っているのかも謎です。ご教授よろしくお願い致します🙇

96... ●●●46 漸化式と数列 A問題 問題のヒント ▲ ポイントチェック 162 (1) 次の漸化式で定義される数列{an} の一般項 an を求めよ。 a=3, an+1=an+4" (n=1, 2, 3, ･･････) [16 中央大 ] *(2) a1=3, an+1=34-10 (n=1,2,3, •••••) で定義される数列{a} の一般 項 an を求めよ。 [13 東京電機大] anti-c=plan-c) と変形する。 ただし, cはc=pctgの解。 +++ 漸化式 ① an+1=pan+g 型の漸化式 ポイント

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4. 数学ⅠAⅡBC PLAN 100 7. 《放物線の平行移動 解答 (2 (イ) 5 (ウエ) -1 (オ) 4 (カキ) -1 (ケ) 2 (コ) 5 (サ) 4 (ク) 8 (セ) 4 (タ) 4 (シス) 16 ◇◆思考の流れ◆◇ 2次関数のグラフの頂点の座標は, 2次関数を平方 完成することで求められる。 また, 2次関数のグラフの平行移動については, 頂点をどのように移動しているかに注目して考える とよい。 グラフGが点(-2, 3)を通るから 3=2(-2)^+α・(-2)+6 よって b=24-5 このとき y=2x2+ax+2a-5 =2(x+1/x)+2 +2a-5 f(x)=x2+2a-3)x2+3+5 =(x+(a-3))-(a-3)2-a2+3a +5 =(x-(3-a))-2a2+9a-4 よって, y=f(x)のグラフの頂点のx座標は p=3-a > 0 であるからp=3-a<3 [1] 1≦x≦5 におけるf(x) の最小値がf (1) となると き, 軸について 3-1 よって [2] 1≦x≦5におけるf(x) の最小値がf (p) となると き,軸について 135 よって −2≦a≦2 [1] >0であるから0<a≦2 x=p 最小 +2a-5 x=1x=5 =2(x+1)-(量)}+ =2(x+2)-1+20-5 8 よって、頂点の座標は (11/2/103+20-5) 頂点 (1/10,1/202 +20-5)が直線 y=2x+3上に あるから a²+2a-5=2-(-a)+3 [1] のとき,f(1) = 0 とすると -a²+5a=0 a²-5a=0 [2] 最小 x=p x=1 x=5 ⑧⑧ 文字を含む2次関数の最小 a を正の定数とし(x)=x+2(a-3)x+3a+5 とする。 タイムリミット10分 2次関数y=f(x)のグラフの頂点のx座標を とすると,αである。 1≦x5 における関数 y=f(x)の最小値がf(1) となるようなαの値の範囲はイ である。 また、1≦x5 における関数 y=f(x)の最小値がff> となるようなαの値の範囲は as である。 したがって, 1≦x≦5 における関数 y=f(x) の最小値が0であるのはαエ または オ a= のときである。 ▷ p.13 x+(-3)3-10-6att) a²+3at5 -2a²tqu 7+ 24-6-a²-3075 -42+50 7 ≤ 3-a €5 4 a(a-5)=0 42 を満たすαの値は a=5 [2] のとき,f(p)= 0 とすると ゆえに よって 整理すると 2-20a+64=0 a=4,16 -2a2+9a-4=0 1 (a-4Xa-16)=0 2a2-9a+4=0 2 (a-4X2a-1)=0 2 →4→ -1->> 4 -8 1 -25-9€ 2 2:00-2 33-9€5 -9 a=4のとき,Gの頂点の座標は(-1, 1) また y=2x2-12x+15 0 <a≦2 を満たすαの値は 1 a=2 a≤2 -2≤9≤2 21-1 2(x-3)2-3 よって,この関数のグラフの頂点の座標は (3,3) このとき -1+p=3,1+g=3 したがって p=4,g=-4 したがって, 1≦x≦5 における f(x) の最小値が0であ るのは, α5 または α = a=1/2のときである。 2a²-9a+4=0 1.4_8 (za-1)(a-4)=0 1.4 8. 《文字を含む2次関数の最小》 解答 (ア) 2 (ウ) 2 (エ)5 (イ) (オ) 1 (カ) 2 ◎ここを押さえる! - >0のとき 2次関数f(x) =a(x-p2gの axβにおける最小値は,軸の直線x=pの 位置により次のようになる。 [1] 軸が区間の左外(p<α) のとき m = f(a) [2] 軸が区間の内 (αPB)のとき m=f(p) [3] 軸が区間の右外 (S<p)のとき m=f(β) ◇◆思考の流れ◆◇ y=f(x)のグラフの軸の位置は,4の値によって変 化する。 そのため, 軸が区間1≦x≦5 の 「左外」, 「内」 「右外」 のどこにあるかで, f(x) の最小値を とるxの値が決まる。 この問題では,軸の方程式はx=3-4 で, a>0 か ら3-a<3 よって, [1] [2] の場合のみとなる。 ア イ ウ て エ 3224 オ 2 2 2 2 2 2 8/101

赤のマーカーのとこで、なんで3パターンをたしてるんですか？それぞれ別だと思いました。

基本 例3 多項展開式とその係数 (1) [x'yz] 次の式の展開式における、[ ]内に指定された項の係数を求めよ。 (1) (x+2y+3z) 武蔵大)(2)(1+x+x2)"[x] [愛知学院大】 /p.16 基本事項 指針 二項定理を2回用いる方針でも求められるが、 多項定理 を利用して求めてみよう。 n! (a+b+c)” の展開式の一般項は a'b'c', p+q+r=n pig!r! 1 章 解答 (2) 上の一般項において, a=1,b=x, c=x2とおく。 このとき, 指数法則により 1.x(x2)'=x+2 である。 g+2r=4となる0以上の整数 (p,g,r) を求める。 (1) (x+2y+3z) の展開式の一般項は 4! 4! plq!r! *"(2y)" (32)=(plar! +2°.3") xyz" 123*xyz ただし p+g+r=4, p ≧0, g≧0, r≧0 p!q!r! x2yzの項は,=2, g=1,r=1のときであるから (a+b+c) の一般項は 4! p!q!r! apbacr (p+gtr=4, p≧0, q≥0, r≥0) 4! ・・2・3=72 2!1!1! 050 [別解 {(x+2y)+3z} の展開式において, z を含む項は C (x+2y) •3z=12(x+2y)'z また, (x+2y)の展開式において,xy を含む項は 3C1x2.2y=6x2y よって, x2yzの項の係数は 12×6=72 3次式の展開と因数分解、二項定理 ■二項定理を2回用いる方 針。 まず (+3z) の展 開式に着目する。 (2) (1+x+x2) の展開式の一般項は 8! p!gly! 1.x(x2)= 8! *x9+2r p!q!r! ...... ただしp+g+r=8 ①, p≧0,g≧0, r≧0 の項は. g+2r=4 すなわち g=4-2r ...... ② のときであり, ① ② から ここで,②g≧0から p=r+4 ...... ③ 4-2r≧0 rは0以上の整数であるから ② ③から r=0 のとき r=1のときp=5,g=2 よって, 求める係数は r=0, 1, 2 p=4,g=4 r=2のとき=6,g=0 (am)=amn い p,g,rは負でない整数。 ② を 1 に代入すると p+4-2r+r=8 44-2r≥05 r≤2 8! 8! 8! + + =70+168+28=266 4!4!0! 5!2!1! 6!0!2! 10!=1

(4)の解説がわかりません

190 第6章 確率 標問 86 確率の最大値 1の目が出たときは駒が矢印に沿って1つ進み, それ以外は同じ場所にとと 図のような経路があったとき, A点, B点においては, さいころを投げて まるとする. C点においては, さいころの目にかかわらず同じ場所にとどま るとする。さいころを投げて1の目が出る確率は1/3である。さいころも。 回投げた結果として, 駒がA点, B点, C点 にある確率を An, Bn, Cn とする. A B 駒がA点にある状態から始めるとして,次の問いに答えよ. C Bn M Anを求めよ. (2) を求めよ. (3) C を求めよ. An (4)を変化させたとき, B" が最大となるnの値をすべて求めよ. (豊橋技科大)

至急です。ベクトルでベクトルAダッシュAとベクトルＡダッシュＢに3分の1がつく理由を教えて下さい

の形に変形する。 平行でないから 平行でないから F) b 136 65 (1) AD=- =AB= AE= AB+2AC 2+1 HA F D, B' A B -C E C 1 +20 A=/AC= よって AA' = 3 AD+2AE 2+1 80DA 13 (326+2× 6+2) TA 3-A 80 -6+2x· 46+4c 3 194 別解 次の項目 「7 図形のベク の内容を用いると, 次のよう る。(教 p.46 研究参照) OP=xOA+yOB とおく。 OB=30D であるから OP=OA+3yOD 点Pは直線AD 上にあるから ① x+3y=1 OA=20℃であるからMO OP=2xOC+ yOB 点Pは直線 BC上にあるから 2x+y=1 ①,②を解くと x=- たいから 9 ( 0-6-5 AE+2AF AB' = よって 2+1 + 1/6+2c +2x- 3 b+4c 9 E B F 2- 12 す a+26 2 A'B' =AB′-AA' b+4c 4b+4c 1-35 話 |91-31-3 20 9 09+24=00 -00-90 == AB 3 よって A'B' // AB すなわち A'B' // AB 66 AP:PD=s: (1-s) とすると る。 OP=(1-s)OA + sOD 1 S 203 =(1-sa+=sb 3 ① 参考 ② 2-5 5' OP==/ OA+15= 2 △ABC の辺 BC, BO CA, AB またはその延 長が,三角形の頂点を通 らない直線lと,それぞ れ点P,Q,R で交わる とき BP CQ AR PC QA RB が成り立つ。 =1 これをメネラウスの定理と 理は数学Aで取り上げてい 本間において, △BOCと の定理を用いると OA CP BD AC PB DO=1 BD 2 OA 2 DO 1' AC 1