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200000000000円
x軸をとる。
A
500
m
x
L
P
例題
3) の操作を
さだけを変
とする
重力加速
発展例題20
振動する台上の物体の運動
図のように、ばね定数kの軽いばねの下端を固定し,上端に質量Mの
水平な台Bを取りつけ,その上に質量mの物体Aをのせた装置がある。
物体Aと台Bを, つりあいの位置を中心に鉛直方向に単振動をさせる。
このとき,物体Aが台Bからはなれることがないとすると, AとBは同
じ単振動をする。重力加速度の大きさをgとして,次の各問に答えよ。
(1) 装置全体がつりあいの状態にあるとき,自然長からのばねの縮み
4 はいくらか。
(2) 台Bとともに単振動をしている, 物体Aの加速度αはいくらか。 鉛直上向きを正,
Aのつりあいの位置からの変位をxとして, 加速度αをxの関数として表せ。
(3) 台Bが物体Aを押す力を,Aのつりあいの位置からの変位xの関数として表せ。
(4) 台Bが最高点に達したとき, 台Bが物体Aを押す力fがちょうど0になったとする。
このときの単振動の振幅ro を,M,m,k,g を用いて表せ。
(1)
(5) 台Bをつりあいの位置から√2 だけ押し下げ, 静かにはなすと, 物体Aは, つり
あいの位置からの変位がx のところで台Bからはなれた。 変位 x1, およびそのとき
の物体Aの速さを, M, m, k, g を用いてそれぞれ表せ。
(京都産業大改)
指針 (1) 装置全体について, 力のつり
あいの式を立てる。
(2) A,Bが一体となって運動しているので, A
とBを一体とみなして運動方程式を立てる。
(3) (4) Aにはたらく力を考え, Aについての運
動方程式から, 力を求める。 (4) は, (3)
結果を利用する。
(5) AがBからはなれるのは, f = 0 のときであ
る。また, 単振動におけるエネルギー保存の法
則では, 運動エネルギーと復元力による位置エ
ネルギーの和は一定である。 復元力による位置
エネルギーは, つりあいの位置からの変位xを
用いて, kx2/2 と表される。
AkAl
■解説 (1) AとBを
一体とみなす。 力のつりあ
いから,
kAl-(M+m)g=0
M+m
k
A
g
B
41=
A
(2) AとBを一体とみなす
と,変位xのときに受ける B
力は、図のように示される。
運動方程式を立てると,
(M+m)g
k(Al-x)
↑a
(M+m)g
(M+m)a=k(Al-x)-(M+m)g
k
kal-(M+m)g=0 を用いて, a =-- M+m
x
(3) Aが受ける力は,図の
ように示される。 Aの運動
方程式を立てると,
ma=f-mg
f=m (g+a)
k
M+m
M+m
k
v=
発展問題 235, 236
A
g
B
A
D**.24
B
g
ro=
m
k
=mg-
東心平本全第一
(4) このとき,Aは振動の端に達しており, (3)
の式でx=r のとき, f = 0 になったと考えら
れる。
0= m (g-kmro)
M
mg
M+m
k
(5) AがBからはなれるのは, f = 0 になるとき
である。 (4) の結果から, 変位 x, は,
Ĵa
x r に値を代入して, vを求めると
M+m
k
第Ⅱ章
g
x₁=ro=
はなれたときのA,Bの速さをvとする。Bを
√2yo だけ押し下げてはなした直後とAとB
がはなれるときとでは, AとBの単振動のエネ
ルギーの和は保存される。 単振動におけるエネ
ルギー保存の法則を用いると、
1/2 k (√2 r.) ² = 1 {kx²³² + 1/2 (M+m) v²
9. 単振動 11
