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「基本例題
147 三角関数の最大・最小 (2)
・文字係数を含む①①①①
y=2acos0+2-sin20
指針
2 ① 変数のおき換え 変域が変わる に注意すると
前ページの基本例題146と同様に, 2次関数の最大・最小問題に帰着させる。
① まず, cos の1種類の式で表し, cos0=xとおくと
0 (10≦)の最大値をαの式で表せ。
基本 146 △
y=x2+2ax+1
0≤x≤1
解答
したがって, 0≦x≦1 における関数y=x2 +2ax+1の最大値を求める問題になる。
よって, 軸 x=-αと区間 0≦x≦1の位置関係で、次のように場合を分ける。
軸が区間の [1] 中央より左側 [2] 中央と一致
[3] 中央より右側
CHART
三角関数の式の扱い
1種類で表す
sin
COS の変身自在に sin20+cos20=1
y=2acos0+2-sin20
=2acos0+2-(1-cos20)
=cos20+2a cos 0+1
cos0=x とおくと y=x2+2ax+1
sin+cos20=1
cose だけで表す。
-I SOST
であるから
0≤x≤1
f(x)=x2+2ax+1 とすると f(x)=(x+α)2+1-α²
y=f(x) のグラフは下に凸の放物線で,軸は直線x=-a
xの変域に要注意!
①の範囲における
y=x2+2ax+1の最大値
を求める。
また区間 ①の中央の値は
1
2'
4
4章
[1],y=f(x)
軸 最大
の
<軸が、区間 ① の中央よ
0 a 1
1
x
2
[2] y=f(x)
り左側。
<軸が、区間 ① の中央と
f(0)=1, f(1)=2a+2
[1] -a < 21/2 すなわち >/12/2
a<
とき,最大値は f(1)=2a+2
[2] -α=
a = 1/2 すなわち = 1/2の
とき,最大値は
f(0)=f(1)=1
[3] -a> すなわち a1/2の
α <-
とき,最大値は f(0)=1
よって
a>
α-1/2 のとき 24+2,
4/1/2 のとき 1
最大
最大
一致。
C
0 1
1
x
2
[3] \
y=f(x)
最大
軸
23
3 三角関数
軸が、区間 ① の中央よ
右側。
TET
答えでは, [2] と [3] を
まとめた。
0
-al
x
2
147 y=cosotasine (orses c)の最大値をαの式で表せ。
練習
BA
