Question

ゆい

解説お願いします

15
(2) a1=1, an+1=-3an+2 (n=1,2,3, ......)
2, 3, ...)
p.35 例題 13
15 次の等式が成り立つことを、数学的帰納法で証明せよ。
1・2+2・3+3・4+………+n(n+1)=1/13n(n+1)(n+2) 金賞
p.37 例題

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

幸佑

① n=1のとき
左辺は1⋅2=2
右辺は13⋅1⋅2⋅3=2
なので、n=1で成り立つ。
② n=kで成り立つと仮定する
つまり、1⋅2+2⋅3+⋯+k(k+1)=13k(k+1)(k+2)と仮定する。
③ n=k+1のとき
左辺は1⋅2+2⋅3+⋯+k(k+1)+(k+1)(k+2)となる。
仮定より、
=13k(k+1)(k+2)+(k+1)(k+2)
=(k+1)(k+2)(k3+1)
=13(k+1)(k+2)(k+3)
これは n=k+1のときの右辺13(k+1)(k+2)(k+3)と一致する。
したがって、n=kで成り立つなら n=k+1でも成り立つ。
よって数学的帰納法により、1⋅2+2⋅3+⋯+n(n+1)=13n(n+1)(n+2)はすべての自然数 nについて成り立つ。