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216
第7章数
列
基礎問
138 数学的帰納法 (II)
nが自然数のとき、次の各式が成立することを数学的帰納法を
用いて証明せよ。
(1) 1+2+...+n²=n(n+1)(2n+1)......
(2)1+2/+/1/2
2n
+・・・+
3
n
u
(2) i) n=1のとき
217
1+1
+...+
+1/+1/3+
2
1 2k
"k+1
左辺 = 1, 右辺 ==1となり, n=1のとき②は成立する。
in=k のとき,② が成立すると仮定すると
+
左辺 =1+
2k
右辺 =
k+1
2 3
を加えると
左辺を証明したい式
1
+.. 1
にする
1
2k+1
精講
手順は 137 と同じですが, n=kのときの式から, n=k+1のとき
この式を作り上げるときに, どんな作業をすればよいのかが問題に
よって違うので,問題に応じてどんな作業をするかを考えなければなりません。
(1) i) n=1のとき
解答
左辺 =1,右辺 = 1/12・1・2・3=1
よって, n=1のとき, ① は成立する。
i) n=k のとき
12+22 +... +k2= = k(k+1)(2k+1).......
が成立すると仮定する.
①の両辺に (k+1)2 を加えて
左辺 =12+22+..+k^2+(k+1)2
右辺 =-
=1/2k(k+1)(2k+1)+(k+1)2
=(k+1){(2k²+k)+6(k+1)}
=(k+1)(k+2)(2k+3)
左辺に,
1+2+...
+k²+(k+1)^
を作ることを考える
これは,①の右辺に n=k+1 を代入したものである.
よって、 ①は n=k+1 でも成立する.
i), i)より,①はすべての自然数nについて成立する。
ここで,
+
k+1 k+1 k+1
2k+1_2(k+1)
k
k+1 k+2 = (k+1)(k+2)>0
1 pk+12(k+1)
1
1+ +・・・+
2
k+1
すなわち
1
1+++
2
2(k+1)
k+1
k+2
よって, n=k+1 でも②は成立する
◆ここがポイント
k+2
これは,②n=k+1 を代入したものである。
iii)より,すべての自然数nについて ② は成立する。
数学的帰納法を使って証明するとき, n=kのときを
仮定したら, n=k+1 のときを計算用紙に書いてお
2つの式の違いを見比べながらこれから行うべき
作業を決める
ポイント
演習問題 138
nが自然数のとき,次の各式が成立することを数学的帰納法を用
いて証明せよ.
1
1
(1)
1
n
+
+…+
1-2
2.3
n(n+1)
n+1
(2)
1
11
+
22 32
n
n
