Question

おもち

この問題の演154で（1）の、マーカー引いたところはなんで必要なんですか！×9して、9[x]≧18にしたらダメなのか教えて欲しいです！！

ので,この直
が(1)のグラフと
-1 O
4),
1 2 x
共有点をもつの
X-1
, -2)
-2y=2x-1
は,図より
-1<k≦0
1)
ときで,
のとき,
....⑰
154
(1) x2 ≧0 だから, 左辺 ≧ 18
よって, 9[x]18
∴
[x]≧2
(2) n≦x<n+1 (nは2以上の自然数)
のとき
[x]=n だから、①はx=9n-18
ここで,n'≦x< (n+1) だから

(2)i) 3≦x<4のとき
[x]=3 だから,①は,x2+18=27
x²=9
.
i) 4≦x<5のとき
x=3
[x]=4 だから, ① は,x2+18=36
.x2=18
) 5≦x<6のとき
.. x=3√2
[x]=5 だから, ①は,x2+18=45
x2=27
iv) x=6 のとき
.x=3√3
[x] =6 だから, ①は,x2+18=54
x²=36
.. x=6
以上のことより, x=3,32,3√36
<3≦x<6 の範囲を
「n≦x<n+1
のとき
[x]=n」
259
が使えるように場合
分けする
ポイント
ガウス記号をはずす (視界から消す) とき
① x-1<[x]≦ x を使うと, 不等式がでてくるが
文字は増えない
(2) x=n+α(n: 整数 0≦α<1) で場合を分ける
と等号のまま処理できるが, 文字が増える
演習問題 154
この設問はポイント①の流れでつくられていますが、ポイント②の
流れにつくりかえると, 演習問題 154 のような設問になります.
154 の方程式 ①について,
(1) ①の解は [x] ≧2 をみたすことを示せ.
(2)2以上の自然数とするとき,n≦x<n+1 をみたす①の解
xnで表し, nのとりうる値の範囲を求めよ.
(3) ①の解をすべて求めよ.

154 ガウス記号 (II)
方程式 x 2 +18=9[x]………① について,次の問いに答えよ.
ただし, [x] は xを超えない最大の整数を表す.
(1) 実数xに対して, x-1<[x]≦x が成りたつことを利用して
①の解は 3≦x≦6 をみたすことを示せ.
(2) 方程式 ①をみたす』をすべて求めよ。
精講
(1) 153 のポイントにある公式に, ① を代入して得られる不等式を
利用せよ,ということです.
(2) (1)は「①の解が 3≦x≦6」 という意味ではなく 「①の解は 3≦x≦6 の範囲
に存在する」 という意味です.すなわち, 必要条件です.しかし, このように
幅のしぼり込みができると, しぼり込んだ範囲を 「n≦x<n+1 (n: 整数)」
と場合分けすることによって, 方程式 ① は, 「=」 のままで, ガウス記号をは
ずす (視界から消す) ことができます。
解答
(1) x-1<[x]≦x だから,
9(x-1)<9[x]≦9x
∴.9(x-1)<x2+18≦x
よって,
..
9(x-1)<x2+18
x2+18≦x
x2-9x+27>0 ....2
x2-9x+18≦0
......(3)
9 12 27
x2-9x+27=x-- + ->0より,
4
②はすべてのxで成りたつ.......②´
また,③より (x-3)(x-6)≦0
.. 3≦x≦6 .....③、
②③'より、①の解は 3≦x≦6 をみたす.
<x-1<[x]≦x
の辺々を9倍する
-①を代入する
③'から②を調べな
くても(1)の成立がわ
かる

数ia整数

Answer 1

Yoshimarukun

発想はいいと思いますし、物を解く手がかりとして、結果から解法を考えることは多いです。
ただ、この場合以下の理由で要求に答えていないと判断されかねません。

P「x^2+18=9[x]が成立する」
ならば
Q「その解xについて[x]≧2が成り立つ」ことを示せ

やれと言われているのは
P⇒Qが真を示すことです。
QはPの必要条件であることを示すのに

Q⇒Pが真と言っても、十分性しか示ていないことになります。

逆をだどれば明らかであるとせめて一言添えればいいかもしれませんが、だとしたら素直に、順方向にから示したほうが無難ですし、「自明」に逃げるのは後々危ないときもあるのでなるべく避けたほうがいいと思います。