|基本 109 多面体を軸の周りに回転してできる立体の体積 000円
右の図のように、1辺の長さが2の正四面体を2つつなぎ
合わせた六面体がある。 この六面体を直線 PQ を軸として
回転させるとき、この六面体の面が通過する部分の体積V
を求めよ。
A
B
基本108
指針 「面が通過する部分の体積」 とあるから,単純にはいかない。
そこで、回転体 断面をつかむに従って考えてみよう。
回転体を ABC を含む平面で切ったときの断面は,図のように
なる(Oは△ABC の重心, Mは辺BCの中点)。 したがって,
面が通過する部分は, △ABCの外接円から, △ABC の内接円を
くり抜いたものと考えられる。このことを立体全体に適用する
と
V=(内部が通過する部分の体積) (面が通過しない部分の体積)
B
M
A
頂点Pから △ABCに垂線 POを
下ろし 辺BCの中点をMとする。
この六面体の内部が通過する部分の
体積は,半径 OAの円を底面とし, A
線分 OP を高さとする円錐の体積
の2倍である。
C
~M
0 B
注意 問題の六面体は, す
べての面が合同な正三角形
であるが, 正多面体ではな
い。なぜなら, 頂点に集ま
る面の数が3または4のと
ころがあり,一定ではない
からである。
次に,この六面体の面が通過しない
部分の体積は,半径OMの円を底面とし, 線分 OP を高さ
とする円錐の体積の2倍である。
よって
V=2x
2×1/2・OAOP-2×1/2 OM-OP ・・・・・ ①
△ACM は 30°60° 90°の直角三角形で, AC =2より,AM=√3であり,0は
△ABCの重心であるから
A= 2 - AM= 2√3
3
OA=123AM=
√3
OM=
= AM:
またOP=√PA-OA=276
これらを ①に代入して
V=
v=OA-OM)-OP-(+). 2.646x
2 4 1 2√6 4√6
=
3
πC
3
9
C
