Question

はれ

問題文中の「面が通過する部分の体積」とはどういうことでしょうか？
回転体の体積と違って内接円の部分を引き算しなければならないのはなぜでしょうか？

御回答よろしくお願い致します。

|基本 109 多面体を軸の周りに回転してできる立体の体積 000円
右の図のように、1辺の長さが2の正四面体を2つつなぎ
合わせた六面体がある。 この六面体を直線 PQ を軸として
回転させるとき、この六面体の面が通過する部分の体積V
を求めよ。
A
B
基本108
指針 「面が通過する部分の体積」 とあるから,単純にはいかない。
そこで、回転体 断面をつかむに従って考えてみよう。
回転体を ABC を含む平面で切ったときの断面は,図のように
なる(Oは△ABC の重心, Mは辺BCの中点)。 したがって,
面が通過する部分は, △ABCの外接円から, △ABC の内接円を
くり抜いたものと考えられる。このことを立体全体に適用する
と
V=(内部が通過する部分の体積) (面が通過しない部分の体積)
B
M
A
頂点Pから △ABCに垂線 POを
下ろし 辺BCの中点をMとする。
この六面体の内部が通過する部分の
体積は,半径 OAの円を底面とし, A
線分 OP を高さとする円錐の体積
の2倍である。
C
~M
0 B
注意 問題の六面体は, す
べての面が合同な正三角形
であるが, 正多面体ではな
い。なぜなら, 頂点に集ま
る面の数が3または4のと
ころがあり,一定ではない
からである。
次に,この六面体の面が通過しない
部分の体積は,半径OMの円を底面とし, 線分 OP を高さ
とする円錐の体積の2倍である。
よって
V=2x
2×1/2・OAOP-2×1/2 OM-OP ・・・・・ ①
△ACM は 30°60° 90°の直角三角形で, AC =2より,AM=√3であり,0は
△ABCの重心であるから
A= 2 - AM= 2√3
3
OA=123AM=
√3
OM=
= AM:
またOP=√PA-OA=276
これらを ①に代入して
V=
v=OA-OM)-OP-(+). 2.646x
2 4 1 2√6 4√6
=
3
πC
3
9
C

Answer 1

和

普通の回転体は、中がみっちり詰まっているわけで、
体積を普通に求めます

これは表面が通過する部分であって、
六面体の中身はスカスカなイメージですね

たとえば線分PQの中点Oにいる人は、
六面体が回転しても、面にかすりもしないことが
イメージできるでしょうか

なので、中が詰まっている想定での体積から、
中のぶつからない空間の体積を引くことになります