中間値の定理の問題です。 どのような思考のもと、g(x)=f(x)−x とおいたのでしょうか。

問題3 (選択) f(x) は 0≦x≦1で連続な関数で, 0<f(z) <1であるとき, f(c) = c (0<c<1)を 満たすcが少なくとも1つ存在することを示しなさい。 (証明技能)

数3逆関数です。 この(3)の問題で、解答に定義域の記載がなくて、 定義域を記載しなくても良い時は、元の関数と定義域が同じ時という認識をしていますが、(3)場合定義域は元の関数の定義域は、x>0では無いと思うんですが、なぜ定義域の記載がないのですか？？

166 基本例題 95 逆関数の求め方とそのグラフ 次の関数の逆関数を求めよ。 また, そのグラフをかけ。 3 (1) y=212+2(x>0) x (2) y=√-2x+4 指針 逆関数の求め方 関数 y=f(x) の逆関数を求める。 y=f(x) について解く 解答 この形を導く。 また (f' の定義域)=(fの値域)(f'の値域)=(fの定義域) 3 (1) y=2+2(x>0) xC ①の値域はy>2 ①をxについて解くと, y>2 であるから 求める逆関数は,xとyを入れ替えて グラフは,図 (1) の実線部分。 (2) y=√-2x+4 y=0 ① ①をxについて解くと,y'=-2x+4から 求める逆関数は,xとyを入れ替えて x²+2 (x²0) グラフは,図 (2) の実線部分。 (3) y=2x+1 2 ...... ...... 0 ①をxについて解くと, 2*=y-1から 求める逆関数は,xとyを入れ替えて グラフは,図 (3) の実線部分。 (1) YA ! 12 ①の値域は ①の値域は y>1 AL 12 xとyを交換 x=g(y) O y= 3 y-2 x=1 3 +³2 (x>2) x-2 x=- 2 16 基本事項 [②2] 18 1 x=log2(y-1) y=log: (x-1) x (3) _y=2*+1 -y² +2 (3) まず、与えられた関数① の値域を調べる。 xy=3+2x から (y-2)x=3 y2であるから、両辺を y-2で割ってよい。また 逆関数の定義域はもとの 数 ① の値域である。 f(x) f(x) 定義域 = 値域 値域 定義域 x≧0 を忘れないように! y=g(x) 1 これが求めるもの に注意。 3 2 10g22*=x_ 定義域は x>1 YA 1① 1 0 1 23

(2)の問題で最大値がない理由を教えてください。

30 基例題 本 72 2次関数の最大値・最小値 (2) 関数 y=x2+2x-1 の定義域として次の範囲をとるとき, 各場合 について, 最大値、最小値があれば,それを求めよ。 (1) -3≦x≦0 (2) −2<x<1 CHART & GUIDE 1 まず, 平方完成して､ グラフをかく。 2 与えられた定義域に対する値域を求める。 3 値域の中で,最大値、最小値をさがす 。 最大 端の点が入っているかどうかを確かめる。 -3 注意 2次関数の最大・最小 グラフをかき、頂点と定義域の端の点に注目 -1 O 解答 にな方向から 関数 y=x2+2x-1 すなわち y=(x+1)-2のグラフは下に凸の放物線であり、 その頂点は(-1,-2), 軸は直線x=-1 である。(第一 f(x)=x2+2x-1 とおくと f(-3)=2, f(-2)=-1, f(0) = -1, f(1)=2, f(2)=1 各定義域での関数のグラフは、 下の図の実線部分のようになる。 (1) y (2) ya (3) 2 -2 x 最小 値域は -2≦y≦2 であり x=-3 で最大値 2 x=-1で最小値-2 <<< 基本例題 71 2 -2-1 V 10 1 x -1 -2 (3) 0≤x≤2 最小 値域は -2≦y<2であり 最大値はない x=-1で最小値-2 TRAINING 72② 次の関数に最大値、最小値があれば,それを求めよ。 I YA 7-- 最大 -1 12 HO 準7: -1 -2 関数 を定め 例量 CHAR & Gu X 解 最小 値域は-1≦y≦7 であり x=2で最大値7 x=0 で最小値-1 最大・最小の問題では定義域が重要! 最大値,最小値は定義域によって変わる。 単純に「頂点のところで最大か最小」 とは限らない。 ・一般に,頂点と定義域の端の点が最大・最小の候補になる。端の点が入るかどうかも チェックしよう。 慣れてきたら,かいたグラフをもとにして直ちに(値域を書くのは省略して)最大 nonton21 . 値・最小値を求めてもよい。 f

線のところはどうやって出すのですか？

260 次の関数の値域を求めよ。 (1)y=sin0+2 関数のグラフは、Y=sin日のグラフを、ソ軸方向に2だけ 平行移動したものである。 1≦sing=1であるから 4/= sing+2の値域は-1+2≦X≦1+2 すなわち1≦X≦3

この問題を教えてください

1 関数y=ax+b(-1≦x≦5) の値域が, 1≦y≦13 となるような定数a,b の値を求めよ。 ただし, a<0 とする。

(5)の解き方を忘れてしまったのでどなたか教えていただきたいです。

(4) 2次方程式 3x-7x+1=0の解はx= 4 である。 (5) 2次関数y=ax2 において, 定義域が-1≦x≦3であるとき, 値域が -3≦y≦0 で あった。このとき, α = 5 である。

赤のマーカーの問題についてです。 回答の場合分けに、[a=0のとき]とあったのですが、 一次関数y=ax+bではa≠0だと聞いたんですが、 [a=0のとき]の場合も書くのは何故ですか？

考え方 関数のグラフが直線の一部であるとき, 定義域の端の値に対応するyの値が、値域 の端の値になる。それぞれどちらに対応するかは,αの符号によって定まる。 解答 関数 y= bの値を求めよ。 ただし, a>0とする。 a0 より この関数のグラフは右上がりの直線の一部であるから, f(x)=ax+bとすると, 値域は (g すなわち a+b≤y≤3a+b f(1)≦y≦f(3) この値域が 0≦y≦1 と一致するから これを解いて a=1/123.b=-1/2 a+b=0, 3a+b=1 これはα> 0 を満たす。 圏 1次関数f(x)=ax+bが次の条件を満たすとき,定数a, b の値を求めよ。 (1) f(1)=-2.f (3)=4 (2) ƒ(2)=4, ƒ(4)=0,001 関数y=ax+b (-1≦x≦1) の値域が, -3≦y≦1となるような定数α, b の値を求めよ。 ただし, α<0 とする。 ト 関数y=ax+6 (-1≦x≦2) の値域が, -7≦y≦8 となるような定数α b の値を求めよ。 a>0,a=0, a<0 の場合に分けて考える。

どうしてx+yを図のようにかけるのですか？

別解 f(0) = cos0+sin0 は図のような値であるから, 0が全実数を動いたときの値域 W は, -√2≤ f(0) ≤√2 ( (cost, sine) -√2 (一一/) (1/27/2)) Of(0) 2 x+y=cos0+sin0

(2)の問題ですが、なぜ場合分けをして解かなければいけないのか分かりません。 解答では0＜a＜b≦1/2 、0＜a≦1/2＜b＜1 、1/2＜a＜b＜1 のように場合分けして解いていました。

SLATK 2. 区間[a,b] が関数 f(x) に関して不変であるとは, NEU 「定義域が a≦x≦b ならば、値域は a≦f(x)≦b」 が成り立つこととする. 5267 VEJ f(x)=4x(1-x) とするとき, (1) 区間 [0,1] は関数f(x) に関して不変であることを示せ. (2)0<a<b<1 とする. このとき,区間[a,b] は関数f(x) に関して不 変ではないことを示せ. 方程式(九州大)

172の問題でマーカーの引いてある部分がよくわかりません。数3の合成関数の問題です。

ha STEP<B> 172 関数f(x)=|x|-1, g(x)=logio(1-x)について,合成関数 y=(fog)(x) の定義域と値域を求めよ。 例題 17 2x+1 関数 y= x+p う。このとき,定数の値を求めよ。 ①の逆関数が,もとの関数と一致するとい