Question

馬

中間値の定理の問題です。
どのような思考のもと、g(x)=f(x)−x とおいたのでしょうか。

問題3 (選択)
f(x) は 0≦x≦1で連続な関数で, 0<f(z) <1であるとき, f(c) = c (0<c<1)を
満たすcが少なくとも1つ存在することを示しなさい。
(証明技能)

g(x)=f(x)とおくと,g(x) は 0≦x≦1で連続で, 0<f(z)<1より
g(0)=f(0)-0=f(0)>0
g(1)=f(1)-1 <0
したがって中間値の定理より, g(c)=0(0<c<1)を満たすcが少なくとも1つ存在す
る。 以上から
g(c)=f(c)-c=0, すなわち f(c)=c(0 <c<1)
を満たすcが少なくとも1つ存在する。

中間値の定理

Answer 1

Clearnoteユーザー

今示したいのは
方程式f(c)=cを満たすcが存在することの証明です。つまりf(c)-c=0を満たすcが存在することを示したいわけです。
故にf(x)-x=0・・①を満たすxが存在すればよいわけですから、①の左辺を新たな関数g(x)とみて、そのグラフがx軸と共有点を持つか調べるわけです。

馬

ご回答ありがとうございます！

Answer 2

ぺんぎん

＿0<f(x)<1 であると、f(x)の値域の端点は○であり、f(c)=c の存在は、全ての x に対して確認しなければならない。

＿そこで、f(x) と h(x)=-x(要するに、y=-x の、傾き-1の比例直線。)と、を合成した g(x)を考えた。すると、
-1<g(x)<1になり、且つ、少なくとも1つの点は、x軸と交わる様になる。
＿そうすると、x軸との交点だけを議論出来る。

馬

ご回答ありがとうございます！

ぺんぎん

＿図に書くと、こんな感じ。