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2次方程式の解と式の値 代因
2次方程式 x°+nx+p=0 の2つの解を a, bとし, x°+nx+q=0 の2つの解
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例題 49
をc, dとする。ただし、か、qは整数で, nは実数とする。
X1)(c-a)(c-6)をか, qで表せ。
y2)(a-c)(b-d)(a-d)(b-c)はある整数の平方であることを示せ、
CHART 解と係数
3つを自由自在に
指針
2 和·積c 3因数分解 0-
20の数
1 解が a, B
(1)(c-a)(c-b)の形を導きたいから, x°+nx+p=(xーa)(x-b) であることを利用し
(次)
て考える。
また,このとき,平凡に
この2
*=c がr°+nx+q=0 の解 → c'+nc+q=0 も利用。0-g
(2) (c-a)(c-b)×(d-a)(d-b)と変形すると,(1)の結果が利用できる。つまり
2光が
6つと
解と保、
CHART(1), (2)の問題
(1)は(2)のヒント
答案(1) 2次方程式 x°+nx+か=0 の2つの解が a, bであるから
x+nx+カ=(x-a)(x-b)
るな!
0か
x=c を代入して
3 因数分解
(c-a)(c-b)=c2+nc+p
また,cはx°+nx+q=0 の解であるから
c+nc+q=0
c+nc=-g
(c-a)(c-b)=-q+p=p-q
(3)式)
内
大限呼0 -0O+。
ゆえに
0=Gよって
の (2) (1) で, Cの代わりに4とおいても同じであるからSI- dもx+nx+q=0
c+nc を消去。
0-
anー5
(d-a)(d-b)=p-4
(a-c)(b-d)(a-d)(b-c)
よって
の解である。
0-S+
=(c-a)(c-b)× (d-a)(d-b)
p, qは整数であるから, (カーg)? は整数の平方である。
=(p-q)
D/3+)
光方式
の後の解を
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