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数学 高校生

(1)と(2)の問題の等号成立ががよく分かりません

51 本 例題 29 不等式の証明 (絶対値と不等式) 00000 この不等式を証明せよ。 la+0|=|a|+|0| (2)|a|-|0|sla-61 p.42 基本事項 4. 基本 28 ■ART & THINKING 問題 1 結果を使う [2] 方法をまねる 絶対値を含むので、このままでは差をとって考えにくい。 AA' を利用すると、絶 計値の処理が容易になる。 よって、 平方の差を作ればよい。 証明したい不等式の左辺は負の場合もあるから, 平方の差を作る方針は手間がかかり -うである (別解 参照)。 そこで, 不等式を変形すると |a|≦la-6|+|6| - (1) と似た形になることに着目。 ■の方針で考えられそうだが, どのように文字をおき換えると (1) を利用できるだろうか? (|a|+|6|2-|a+b2=(|a|2+2|a||6|+|6|2)-(a+b)2 って =a2+2|ab|+62-(a² +2ab+62) =2(labl-ab)≧0 (*) la+6≦(|a|+|6|)2 in A≧0 のとき -|A|≦A=|A| A<0 のとき -|A|=A<|A| +6|≧0, |a|+|6|≧0 であるから la+6|≦|a|+|6| -lal≦a≦lal, -|6|≦6|6| であるから 々を加えて -(|a|+|6|)≦a+b≦|a|+|6| |a+6|≦|a|+|6| ■+|6|≧0 であるから [_1)の不等式の文字α を a-b におき換えて | (a-b)+6|≦la-6|+|6| って lal≦la-b|+|6| ゆえに |a|-|6|≦la-6| [1] |a|-|6|<0 すなわち |a|<|6| のとき 左辺) < 0, (右辺) > 0 であるから不等式は成り立つ。 |a|-6|≧0 すなわち |a|≧|6| のとき la-b-(al-16)²=(a-b)²-(a²-2|ab|+b²) =2(-ab+lab)0 よって (a-ba-b12 1-161≧014-0≧0 であるから |a|-|6|≦|a-6| であるから,一般に -ASASA 更にこれから JAI-A≧0 [A+A≧0 c≧0 のとき -c≤x≤c\x\≤c x≤-c, c≤x 1xc ②の方針 |a|-|0|が の場合も考えられる で、 平方の差を作るに 場合分けが必要。 int 等号成立条件 (1)は(*) から, lab|= すなわち、 αb0 のと よって、 (2) は (α-b) ゆえに (a-b≧0 かつ または (a-b0 かつ すなわち a b ≧0 ま a≦b0 のとき。 CTICE 29 [hs]alt[6] を利用して、次の不等式を証明せよ。 (?) |-cl≦la-6/+16-cl

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数学 高校生

(2)の問題でなぜaをa-bにおきかえれるのでしょうか

次の不等式を証明せよ。 (1)[+0=|a|+|01 (2) a-ba-bl p.42 基本事項 基本 28 1 CHART & HINKING 似た問題 1 結果を使う 4 ② 方法をまねる 葬式・不等式の証明 絶対値を含むので、このままでは差をとって考えにくい。 JA=Aを利用すると、絶 対値の処理が容易になる。 よって、 平方の差を作ればよい。 (2)証明したい不等式の左辺は負の場合もあるから, 平方の差を作る方針は手間がかかり そうである(別解 参照)。 そこで, 不等式を変形すると |a|≦10-61+161← (1) と似た形になることに着目。 ①の方針で考えられそうだが,どのように文字をおき換えると (1) を利用できるだろうか? (1)(|a|+|6|2-|a+b=(|a|+2|a||5|+162)-(a+b)2 よって =α+2|ab|+62-(2+2ab+b2 ) =2(lab-ab)≧0 ...... (*) la+b=(al+161)2 |a+61≧0,14|+|6|≧0 であるから inf. A≧0 のとき -|A|SA=|A| A <0 のとき -{A}=A<|4| であるから,一般に a+b≤a+b 更にこれから lal≦a≦lal, -66であるから -ASASA 別解 辺々を加えて -(lal+16)≦a+b≦|a|+|6| |a|+|6|≧0 であるから la +6|≦|a|+|6| (2)(1) 不等式の文字αを α-b におき換えて (4-6)+6=la-6|+|6| よって|a|≦la-6|+|6| ゆえに |a|-|6|≦la-b 別 [1] |a|-|6|<0 すなわち |a|<|6| のとき (左辺) <0, (右辺) > 0 であるから不等式は成り立つ。 [2] |a|-|5|≧0 すなわち |a|≧|6| のとき la-b-(al-1b)²=(a−b)²-(a²-2|ab|+b²) よって =2(-ab+labl≧0 (a-ba-b12 |a|-|6|≦|a-6| lal-101≧014-0≧0 であるから A-A≥0, 1A+A c0 のとき exclxlsc x≤-c, c≤x ―xc ②の方針。 α|-bが負 の場合も考えられるの で、 平方の差を作るには 場合分けが必要。 in 等号成立条件 (1)は(*) から, lab=a すなわち, ab0 のとき よって, (2) は (a-b)& ゆえに (α-620 かつ または (a-b≦0 かつ すなわち ahのとき。

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