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思考プロセス
an=
= (+)" cos —— nx
2
COS nπとする。無限級数Σam の和を求めよ。
<ReAction 無限級数の収束 発散は,まず部分和 Sm を求めよ
例題111)
規則性を見つける
YA
n=3m-2
αの
の部分は, n= 1, 2, 3, のとき
1
1
1
2
2
2' 2'
をくり返す。
|場合に分ける
={1-(1)}/{1-(1)}+//{1-(1)}
3m
=--{1-(/)}
n→∞ のとき, m→∞ となるから
2
lim S3 =
7
2
n=3m
7 ここで.
cos
1 より
10
1x
2
n=3m-
0≤
COS
lim
12-00
1 (1/2)
= 0 より, はさみうちの原理より
an → 0
一方, Ssm-1= Ssm-αsm, Ssm-2=Ssm-1-asm-1 であり,
In=3m
n=3m-1(mは正の整数) の場合に分けて考える。
In=3m-2
(ア) S3m = a1+a2+as+..+α3
=(a1+a+…+α3m-2)+(a2+α+... +α3-1)+(as+a+..+α3m)
n→8
→ すべて一致すれば
(イ) S3m-1= S3m-a3m=
n→∞
その値が24円
(ウ) S32S3-1-43m-1=|
n→∞
an
n=1
解 S= ak とおくと, n=3mm は正の整数)のとき
数列{cos 2 MTが
3
12 4
=
COS
(2/2)
COS2
1
2' 2
1
1,... の
(1/2)
くり返しになることに着
目して場合分けする。
cos
COS4
Sam-cos+() cos+(½)
8
COS
+(1/2)*cos 37 + (12)² cos 107
COS
COS
-π+
3
+・・・+
3m-
・1/11/2+(2)+....+(1/1) ***}
=-
+・・・+
(4)+
3m
COS2m²
//{(1)+(2)+....+(1/1)}
+・・・+
3m-1
各{}内は,すべて
公比
t
+{(12)+(2)+..+(1/2)}会 (12),数の等
3m
3
12/{1-(1/2)^} (1){1-(1)}
1
1
2
1-(1/2)
3
2
1
3
比数列の和である。
(1/2){1-(1)}
+
1
3
no のとき αsm 0, αsm-10 であるから
lim S3m-1=lim S3m-2 = lim Ssm
したがって
2
19L-00
lim S. = (+) cos nx =
COS
Point 無限級数の計算の順序
2
7
例題116のPoint で学習したように, 無限級数では, 勝手に項の順
けない。 そのため, 結果は同じであったとしても、 次のように解答を
4
COS-
acosx+(1) cosx+(2) cos
=
COS
n=1
2
3
3
COS
14
+(1/2) cos/1/12+(1/2) 1
十
={12+(1/2)+(2)+...}cos/3+{(1/2)+(1/2)+(-
1
2
(/)+
1
8
3
+(+) cos+(4) 00810+
COS
COS
3
COS
1 316 36 123 12
+
(
12
+{(1/2)+(1/2)+1
(-1/2)+
(2)
1
117 無限級数
1
nπ
sin²
2
の和を求めよ。
