(2) 1-2+2.3+3·4+…
+n(n+1)=D=mn+1(n+2)
(証明)この等式を(A) とする。
[1] n=D1のとき
左辺= 2
右辺=
2
よって, n=1のとき, (A) が成り立つ。
[2] n=kのとき (A)が成り立つ,すなわち
O
1.2+2.3+3-4+ +風k+1)= (k+1)(k+2)
が成り立つと仮定すると, n=k+1のときの(A)の左辺は
D +
1-2+2-3+3·4+·
+嵐k+1)+
1
=kk+1Xk+2)+
1
ニ
3
n=k+1のときの(A) の右辺は
よって, n=k+1のときも(A)が成り立つ。
[1], [2] から, すべての自然数 nについて(A)が成り立つ。