これらの式はどこからきたのでしょうか

168 第6章 順列組合せ 基礎問 104 道の数え方 (1)右図のような道をAからBまで行くこと を考える。 (1) か、 は何通りあるか Cを通るものは何通りある (2) 右図のように p q が通れない道をAか らBまで行くことを考える。 最短経路は何 通りあるか。 p A (2) (解1) pを通ってAからBまで行く最短経路 の総数は 2C1X6C2=20 (通り) qを通ってAからBまで行く道の総数は C2 ×2C1=20 (通り) とを通ってAからBまで行く方法は 2C1×2Ci×2C1=8 (通り) よって,P, qの少なくとも一方を通って, AからBに行く道の総数は 20+20-8=32 (通り) Ppを通る Q:gを通る よって, pもqも通らないでAからBまで行く方法は 56-32=24(通り) (解Ⅱ) 右の上図において、 ある点Zに到達する 道は1つ左の点X経由と1つ下の点Y経由の 2つがあり,それ以外にはない。よって、点X, 点Yに到達する道の数がそれぞれ, 通り,y 通りあるとき, 点Zに到達する道の数は (x+y) 通りある. 169 X → Z +y)通り 通り (1) たとえば、右図の色の線で表される道に D 精講 B ついて考えてみましょう。 この道をタテ ヨコで分割して一列に並べると|, -, - 通り Y , -, 1, -, -となっています。 他の道も「一」 A 5本と 「」 3本を並べかえたものになります. 一例として, A→D→Bと 8 14 17 B 24 じものを含む順列で片付けられます。 -一と表せます. よって, 97 で学んだ同 3 4643 7 よって, 求める道の数は右の下図より 24通り P 2 12 13 A111 1 の口コ のうち、「|」を入れる3 16

(3)の問題でなぜ解答のような式になるのか文を読んでも理解できません 教えてください🙇‍♀️

282 演習問題の解答 ( 96 ) 方は4通りあり,P,E, I の入れかえ が3!通りあるので 4!×3!=144 (個)+axa ( まず, P, E, I を並べ, その間と両 端4か所から3か所を選んで, J, U, Nを入れると考えれば, 3!×4P3=144 (個) 注 (全体)-(3文字がとなりあう) すると。 みの押し方を確りが不 10~180(通り) と考えると 6! -144=576(個)とまち (2) がえてしまう. (4) U, E, I が入る場所の選び方は, C 通りあり、並べ方は1通りである。 また、残りの3文字の並べ方は,3!通 りあるので と の選び方に A.B.Cのスタンプと リカードにもスタンプの押し あるが、この中には、 プのみ、2つのスタン ているものが含まれる。 99タンプのみ使われてい 通り (1)タンプのみ使われてい 6C3×3!=120 (1) 個 96 ンプの選び方が (通り) 下2桁が25の倍数のとき25の倍数とな る。 6個の数でつくられる25の倍数は25 50の2個 (i)下2桁が25のとき ンプの使われ方が (通り) 90 (通り) Cのスタンプが使 150(通り)

高校数学IIです！！ (1)(2)両方わかりません！！特に写真の紫と赤で色がつけられてるところがわかりません。 どなたかよろしくお願いします🙇‍♀️

358 第6章 微分法 例題 181 微分係数代 5f(x)-xf(5) (1) 微分係数の定義に従って lim xx-5 f(a+h)-f(a-2h (2) 微分係数f' (a) の定義に従って lim f' (a) で表せ. h-0 **** f(5) f'(5) で表せ (東京薬科大) を (防衛大改) 考え方 (1) f'(5)=lim f(x)-f(5) (2)f'(a)=lim flat ○)-f(a) h→0 5 x-5 5f(x)-xf(5) 解答 (1) lim →5のままで考える。 5 x-5 =lim {f(x)-f(5)}を作るた 5 ,5f(5) を引いて加え JAR Focus >>>> 練習 [181 ** =lim 5 5f(x)-5f(5) +5f(5)-xf(5) x-5 5{f(x)-f(5)} -f(5)(x-5) +lim x-5 5 x-5 微分係数の定義 limf(x)-f(5) x+5 x-5 =5f'(5)-f(5) -+lim{-f(5)} 5 (2) limf(a+h)-f(a-2h) -0 h limf(a+h)-f(a) +f(a)-f(a-2h) =lim h-0 f(a+h)-f(a) h -lim h h→0 fla-2h)-f(a) h =limf(a+h)-f(a) h -(-2)-lim f'(a)+2f'(a)=3f'(a) f(a-2h)-f(a) -mil f(a+h)-f(a)を作る f(a)を引いて加え 分子のα-2hに合 分母も2hにし 前に2を掛ける. h→0 -2h h0のとき2 f'(a)=limf(x)-f(a) f' (a)=lim f(a+)-f(a) x-a x-a ●は例題181(2)のように、んではなく-2hになる場合もあるが、2箇所の →0のときでないといけない.ただし, lim の下はん→0のままでより また、例題181 の解答では,次の性質を利用している. (kは定数) limkf(x)=klimf(x), lim{f(x)±g(x)}= limf(x) limg(x) (複号同 xa x a →ロ x-a (1) 微分係数 f' (a) が存在するとき, 極限値 lim 用いて表せ。 xa f(a+3h)-f(a) 4-0 h (2) 微分係数 f'(a) の定義に従って limf(a-h)-f(a+3h) て表せ. h→0 をf'(

図形と方程式の問題です。どのような場合の時に最後の逆の確認を行えば良いのかわからないです。教えて頂きたいです。

重要 150 114 接線に関する軌跡 lとし,その交点をRとする。 l と l2 が直交するように2点P,Qが動くとき, 放物線y=x2上の異なる2点P (p, 2), Q(g, q2) における接線をそれぞれ l, 点Rの軌跡を求めよ。 基本 110 2点P,Qにおける接線の方程式をそれぞれ求め,それらを連立方程式として解くと, 交点R の座標 (x,y) が求められる。 x, yはつなぎの文字 gの式で表されるから、 pg を消去する方針で進める。 181 その際,2直線が垂直 解答 接線の傾きをm とすると,その方程式は y=(x-p) すなわち y=m(x-p)+p2 これとy=x を連立して x=(x-p)+p2 整理すると x2-mx+mp-p=0 この2次方程式の判別式をDとすると D=(-m)-4(mp¯p²)=(m−2p)² 接するとき, D=0であるから (m-2p)=0 よって 点Pにおける接線でx軸に垂直なものはないから, (傾きの積)=-1 を利用する。 P(カッカ) Q(g,g2) 3 10 l2 ふつうに R (x.) x 章 18 微分 m=2p したがって, l の方程式は すなわち y=2px-p2 y=2p(x−p)+p² ① 同様にして, l2 の方程式は =2gx-q2 交点R の座標 (x, y) は, 連立方程式 ①,②の解である。 を消去して整理すると 2(p_q)x=(p+g) (b-g) p+g pgであるから &c= 2 販 0=S- これを① に代入して y=2p ptg-p=pa 20-1 ここで, l⊥l2 から 2p･2q=-1 よって, pq= から y=- ③ 4 4 逆に, (*) * ③ が成り立つとき,pg を2解とする 2次方程 式2-2xt- =0 の判別式をDとすると 1 D' よって D'0 4 ①でをgにおき換え る。 参考 後で学習する微分法 (第6章) を用いると, 接線 の方程式をより簡単に求め ることができる ( 解答編 97 の 参考 を参照)。 (*) 逆の確認。 直線 y=-21 上の任意 の点から、必ず接線が2 本引けることを確認して いる。ここで, pg を2 解とする2次方程式の1 p+g=2x, ゆえに、任意のxに対して実数pg (p)が存在する。 b=-1/2 から 4 したがって求める軌跡は 直線y= == 21 (0 12-2xt- =0 大事

（1）の表の＋にどうしてなるのか? （2）の表の0にどうしてなるのか? 教えてください。よろしくお願いします。

238 第6章 微分・積分 練習問題 8 次の関数の増減を調べ, y=f(x) のグラフをかけ (2) f(x)=x'+x+1 (1) f(x)=x-6.x2+12.x-7 精講 グラフ 3次関数のグラフは,必ずしも極値をもつとは限りません。 が極値をもたないようなケースを見ていくことにしましょう。 (1) f(x)=x-6x2+12x-7 f'(x)=3x2-12x+12 =3(x-2)2 f(x) の増減は下表の ようになる. 解答 y=f'(x) 接線の傾きは2 になるが極値ではない + 0 + + Y IC 18 1 0 2 X IC 2 f'(xc) +0+/ なんで+? 7y切片 f(xc) 1 グラフは右図のようになる. (2) f(x)=x'+x+1 f'(x) =3x2+1 f(x) の増減は下表の y=f'(xc) + ようになる. なんで01 0 IC 0 ... IC f'(x) + 1 + f(x) 7 1 7 グラフは右図のようになる. コメント 接線の傾きが0になった からといって、その場所で 傾き 0 x=0で接線の傾き は最小値1となる ------ y

青の所は0ではなく何故1にしているのでしょうか？ その場合の考え方など解説お願いします🙇

練習問題 8 次の関数の増減を調べ, y=f(x) のグラフをかけ. (1)f(x)=x-6x2+12æ-7 精講 (2) f(x)=x'+x+1 231 3次関数のグラフは,必ずしも極値をもつとは限りません。グラフ が極値をもたないようなケースを見ていくことにしましょう. (1)f(x)=x-6.x2+12x-7 f'(x)=3x²-12x+12 =3(x-2)2 f(x) の増減は下表の ように IC 2 f'(x) + 0 + f(x) > 1 7 グラフは右図のようになる. (2) f(x)=x'+x+1 f'(x) =3x2+1 解答 y=f'(xc) 接線の傾きはx=2で 0 になるが極値ではない + 20 + y 2 IC 1 0 12 IC y=f'(xc) f(x) の増減は下表の + ようになる. 0 X IC f'(x) + 0 1 + f(x) 7 1 7 -7 切片 x=0で接線の傾き は最小値1となる Y! IC 第6章 グラフは右図のようになる . コメント 接線の傾きが0になった からといって、その場所で 極値をとるとは限りません. (1)のグラフでは、x=2で 接線の傾きが0になってい 傾き 0 傾き 0 極大 極小 傾き 0 極値ではない の途中にある 「休憩所」 のようになっています. このような場所は,極大でも ますが,そこは「山の頂上」 にも 「谷の底」 にもなっておらず, いわば上り坂 極小でもありません。

答えの3(30-t)＝2(t-15)のところで、なぜ3と2が出てくるのかが理解できていません。教えていただけると助かります。

72. 熱量の保存 物が将の重 30℃,150gの水に, 15℃,100gの水を加えたとき, 混合後の温度 [°C] を求めよ。 (3)1

☆数2です☆ 2問ともわからないです。 あと1問目の解説で{f(x)-f(5)}と書いてあるのですがなぜそれを作らないといけないのかもわからないです。 どなたかよろしくお願いします🙇‍♀️

358 第6章 微分法 練習 [181 ** 例題 181 微分係数 (1) 微分係数の定義に従って lim- 考え方 (1) f'(5)=lim 注 (2) 微分係数f'(a) の定義に従って lim h→0 f'(a) で表せ. 解答 (1) lim x-5 =lim 5 =lim 5 =lim h→0 (2) lim h→0 1-5 =5lim f(x)-f(5) x-5 5 h 5f(x)-xf(5) x-5 5f(x)-5f(5) +5f(5)-xf (5) =lim h0 f(x)f(5) x-5 =5f'(5)-f(5) x-5 x-5 5{f(x) f(5) } -f(5)(x-5) x-5 +lim x-5 =limf(a+h)-f(a) h f(a+h) f(a)_(-2)・lim h アルスカ=f'(a)+2f'(a)=3f'(a) Focus x-a x-5 f(a+h)-f(a-2h) h f(a+h)-f(a)+f(a) f(a-2h) -+lim{-f(5)} x-G 5f(x)-xf(5) x-5 h (2) f'(a)=lim -lim h→0 f'(a)=limf(x)-S(α) x-a f(a-2h)-f(a) h →0 f(a+h) f(a-2h) 0 (2) 微分係数 f'(a) の定義に従って lim h-0 て表せ. をf(5) f'(5) で表せ。 (東京薬科大) h f(a+)-f(a) ƒ(a−2h)—ƒ(a) 1-2h (1) 微分係数 f'(a) が存在するとき, 極限値 lim h→0 用いて表せ. f'(a)=limat hod は例題 181 (2)のように, ん ではなく2hになる場合もあるが、2箇所のは同じで、 ん→0のとき→0でないといけない。ただし, lim の下はん→0のままでよい。 また,例題 181 の解答では、次の性質を利用している. (kは定数) lim kf(x)=Alim f(x), lim (f(x) 土g(x))=limf(x) 土limg(x) (複号同順) x-G →ロ x-a x-a **** (防衛大改) x→5のままで考える。 {f(x) f(5)} を作るため に,5f(5) を引いて加える 微分係数の定義 f(a+h) - f(a) を作るため にf(a) を引いて加える、 分子のα-2hに合わせて 分母も2hにし limの 前に2を掛ける. h→0のとき2h 0 ·O)-f(a) f(a+3h) f(a) h f(a-h)-f(a+3h) h をf'(a) を (関西大) をf'(a) を用い Think 例題 (1) (2) (3) 考え方 |解答 Fc 練 1 *

答えに（40+200×4.2）と書いてあるのですが、なんで40をたさなければならないのでしょうか、、、、、意味わからなさすぎて泣きそう。😢

熱容量 40J/Kの熱量計に 200gの水を入れ, 温度を測定すると 123 熱量の保存 20.0℃であった。 その中に 73.0℃に熱した 60gの金属球を入れると、 全体の温度 23.0℃ で一定になった。 水の比熱を4.2J/(g・K) とする。 (1) この金属の比熱を有効数字2桁で求めよ。 (2) この測定後、長い時間が経過して熱が逃げ、全体の温度が22.0℃に下がった。この 間に逃げた熱量を有効数字2桁で求めよ。 例題25 135

赤線で引いているところへの質問です。 この範囲を私は、3分の4a<1 すなわち a<4分の3 という範囲にしたのですが、これは間違いですか？；； あと答えのような範囲になる意味も教えて欲しいです😭🙏🏻

hとする。 三平方の定理 変数の変域を確認 円柱の体積) = ( 底面積)×(高さ) V をV'です。 基本 例題 213 係数に文字を含む3次関数の最大 最小 のに対し、 aを正の定数とする。 3次関数f(x)=x-2ax²+α²x 0≦x≦1における最大 値M ( 4 ) を求めよ。 基本 211 (重要 214) f'(x)=3x²-4ax+a² = (3x-a)(x-a) 文字係数の関数の最大値であるが, p.329 の基本例題211 と同じ要領で, 極値と区間の端 での関数の値を比べて最大値を決定する。 f(x)の値の変化を調べると, y=f(x)のグラフは右図のようにな a よって、1/31(1/3 3' 合分けを行う。 a 3' a> 0 であるから, f(x) の増減表 は右のようになる。 f(x)=0 とすると = 0, a は変域に含まれゆえに ないから、変城の 対するVの値は空し る(原点を通る)。ここで, x=1/3以外にf(x)=f(1/3)を満たす (これをaとする)があることに注意が必要。 <α が区間 0≦x≦1に含まれるかどうかで場 x= 練習 213 a a [11] 1</03 すなわちa>3のとき x 3 4 f'(x) + f(x) 4 1(x)=7a²²5 x²-2ax² + a²x=27a² = 0 f(x)=から 20 [極大] 4 27 3 [1][③3] 0</1/2a<1 すなわち0<a<24242 のとき 以上から 0<a<2,3<a のとき ≦a≦3のとき a ゆえに(x-1/2)(x-1/30) - x 1/3であるから =0 したがって, f(x) の 0≦x≦1における最大値 M (α) は 大 [類 立命館大] Fa³ ここで、x=1/1/3以外にf(x)=2を満たすxの値を求めると 27 ・ .... aは正の定数とする。 関数f(x)=- ける最小値m (a) を求めよ。 0 極小 0 後、本書の増減は 方針 1/12/1/11/1/24 すなわち 01/24 ≦a≦3のとき M(z)=(1/3) 3 M(a)=f(1) ... T a + K x ³ 3 >> ²+ M(a)=f(1) 4 3a M (a)=a²-2a+1 FIT+4 (0)M M(a)= 27 a f(x)=x(x²-2ax+a²) =x(x-a)^ から O (3) = (-²/a)²=-27 ² [1] YA 16A で割り切れる。このことを利用して因数分解している。 pet od-p=(D) 30 O [2] YA 03 0 [3] y 27 aax PRAHO Al a²-2a+1 r. I 最 1 IT Q3 1 a 3 最大 1 alm 3 1 a a²-2a+1 a /1 10a a 4 3 1204 3 al 注意 (*) 曲線 y=f(x) と直線y=x=1の点において接するから、f(x) /27は 15(D)M a³ (x - 2)² x 331 6章 7 最大値・最小値、方程式・不等式 37 [8] 04 p.344 EX138 3 ax²-2ax+αの区間 0≦x≦2にお BOO 2 LANC