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基本 例題 35 ani=pan+(nの1次式) 型の漸化式
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a=1, an+1=3a+4nによって定められる数列{a} の一般項を求めよ。
基本 34
指針 p.60 基本例題 34の漸化式 α+1=pan+g で,g が定数ではなく, nの1次式となって
いる。このような場合は, n を消去するために 階差数列の利用を考える。
←
漸化式のn をn+1 とおき, α+2 についての関係式を作る。 これともとの漸化式
との差をとり、階差数列{an+1-a} についての漸化式を処理する。
また,検討のように、等比数列の形に変形する方法もある。
CHART
漸化式 an+1=pan+(nの1次式) 階差数列の利用
1
章
4漸化式と数列
解答
an+1=3an+4n ...... ① とすると
②
② ①から an+2-an+1=3(an+1-an)+4
bn+1=36+4
an+2=3an+1+4(n+1)
an+1-an=bn とおくと
これを変形すると bn+1+2=3(b+2)
また
b1+2=a2-a1+2=7-1+2=8
よって, 数列{bm+2}は初項8,公比3の等比数列で
bn+2=8.3-1 すなわち b=83-1-2
(*)
①のnn+1 を代入す
ると②になる。
差を作り, nを消去する。
<{bm}は{a}の階差数列。
<α=3a+4からα-2
<az=3a+4・1=7
n≧2のとき
n-l
an=a1+2(8.3k-1-2)=1+
k=1
8(3-1-1)
3-1
--2(n-1)
③
<n≧2のとき
an=a+bk
n-1
k=1
=4.3"-1-2n-1
n=1のとき 4・3°-2・1-1=1
=1であるから, ③はn=1のときも成り立つ。
したがって an 4-3-1-2n-1
初項は特別扱い
(*) を導いた後, an+1-an=8.3-1-2 に ① を代入して a を求めてもよい。
{{an=(an+β)} を等比数列とする解法
例題は an+1=pan+(nの1次式) の形をしている。 そこで, f(n)=an+β として,
検討
an+1=3an+4n が, an+1-f(n+1)=3{an-f(n)} A の形に変形できるようにα,β
の値を定める。
Aから
an+1_{α(n+1)+B}=3{an-(an+B)}
ゆえに
an+1=3an-2an+α-2B
練習
35
これとα+1=3a+4n の右辺の係数を比較して -2a-4, a-2B=0
よって α=-2,β=-1
ゆえに
f(n)=-2n-1
Aより, 数列{an-(-2n-1)}は初項 α1+2+1=4, 公比3の等比数列であるから
an-(-2n-1)=4.3-1 したがって an=4.3"1-2n-1
a1=-2,an+1=-3a4n+3によって定められる数列{a} の一般項を求めよ。
