Question

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漸化式 階差型
こちらの問題でいつも検討の方がスマートに思えて そっちしか覚えていないのですがやっぱり上も覚えた方がいいですかね、？
そりゃ共テ対策にも様々な解法があった方がいいのはわかるんですけど 下で解けない問題にまだ会ったことがなくて

上でしか解けない問題とか上の方がスマートになることってありますかね、、？ みなさんの意見を聞きたいです

基本 例題 35 ani=pan+(nの1次式) 型の漸化式
63
00000
a=1, an+1=3a+4nによって定められる数列{a} の一般項を求めよ。
基本 34
指針 p.60 基本例題 34の漸化式 α+1=pan+g で,g が定数ではなく, nの1次式となって
いる。このような場合は, n を消去するために 階差数列の利用を考える。
←
漸化式のn をn+1 とおき, α+2 についての関係式を作る。 これともとの漸化式
との差をとり、階差数列{an+1-a} についての漸化式を処理する。
また,検討のように、等比数列の形に変形する方法もある。
CHART
漸化式 an+1=pan+(nの1次式) 階差数列の利用
1
章
4漸化式と数列
解答
an+1=3an+4n ...... ① とすると
②
② ①から an+2-an+1=3(an+1-an)+4
bn+1=36+4
an+2=3an+1+4(n+1)
an+1-an=bn とおくと
これを変形すると bn+1+2=3(b+2)
また
b1+2=a2-a1+2=7-1+2=8
よって, 数列{bm+2}は初項8,公比3の等比数列で
bn+2=8.3-1 すなわち b=83-1-2
(*)
①のnn+1 を代入す
ると②になる。
差を作り, nを消去する。
<{bm}は{a}の階差数列。
<α=3a+4からα-2
<az=3a+4・1=7
n≧2のとき
n-l
an=a1+2(8.3k-1-2)=1+
k=1
8(3-1-1)
3-1
--2(n-1)
③
<n≧2のとき
an=a+bk
n-1
k=1
=4.3"-1-2n-1
n=1のとき 4・3°-2・1-1=1
=1であるから, ③はn=1のときも成り立つ。
したがって an 4-3-1-2n-1
初項は特別扱い
(*) を導いた後, an+1-an=8.3-1-2 に ① を代入して a を求めてもよい。
{{an=(an+β)} を等比数列とする解法
例題は an+1=pan+(nの1次式) の形をしている。 そこで, f(n)=an+β として,
検討
an+1=3an+4n が, an+1-f(n+1)=3{an-f(n)} A の形に変形できるようにα,β
の値を定める。
Aから
an+1_{α(n+1)+B}=3{an-(an+B)}
ゆえに
an+1=3an-2an+α-2B
練習
35
これとα+1=3a+4n の右辺の係数を比較して -2a-4, a-2B=0
よって α=-2,β=-1
ゆえに
f(n)=-2n-1
Aより, 数列{an-(-2n-1)}は初項 α1+2+1=4, 公比3の等比数列であるから
an-(-2n-1)=4.3-1 したがって an=4.3"1-2n-1
a1=-2,an+1=-3a4n+3によって定められる数列{a} の一般項を求めよ。

Answer 1

ブドウくん

私も習ったときは、検討の方がスマートな気がしました。基本形のときにそう解くなら、pa(n)+qのqがnの1次式になっても同じように解くほうがいいだろうと思ったからです。
実際、これで解けないことは原理上ないのですが、計算としては上の方法（n+2とn+1の関係に持ち込む）の方が楽なことが多いかなと思います。今回みたいに4nだと楽ですが、-5n+9（←適当に考えた）みたいなのがくっつくと符号間違いや計算間違いを起こしやすい気がします。

ブドウくん

あと単純にnを1個上げてみるっていう発想自体、持っておいて損はないと思いますね。