例題 20
共役な複素数
2つの複素数 a, Bについて, 次のことを証明せよ。
lay
(1) aB = a B
(2) a, Bが虚数のとき, α+B, aB がともに実数ならば
B=Q
@Action 複素数の相等は, 実部と虚部をそれぞれ比較せよ
目標の言い換え
例題 22
同らキ文1 お 情
α=a+bi, B=c+di (a, b, c, dは実数)とおく。
(1)(左辺) = aB = … =O+△i
(右辺) = aB=…=O+△i/
df = 00
6@ = AA
※-29
JO= 0
を示す。
=ム
(2) (す)がともに実数→
[(α+ Bの虚部)=0
l(aBの虚部)= 0
laB
α=a+bi, B =c+di (a, b, c, dは実数)とおくと
a =a-bi, B =c-di
左辺 aβ をa, b,
で表す。
(1) aB = (a+bi)(c+di)
= ac+ adi + bci+bdi°
= (ac- bd) + (ad+bc)i
aB = (ac- bd)- (ad+bc)i
¥bdi = -bd
よって
一方 a B= (a-bi)(c-di)
右辺 aBをa, b, 4
で表す。
= ac- adi - bci + bdi?
= (ac-bd)- (ad + bc)i
したがって
aB = a B
(2) α+B= (a+c)+(6+d)i
複素数 2=a+bi に
これが実数であるから, b+d=0より d=-6….①て
aB = (ac-bd) + (ad+bc)i
2が実数=
また
これが実数であるから
のを2に代入すると
aは虚数であるから, bキ0 より
の, 3より
ad + bc = 0
6(c-a) = 0
*複素数 a=a+i
a=c
いて
B=c+di = a-bi=a+bi=
aが虚数→キ
すなわち
B=a
T8+
(標園)
Point #代r海毒勤
思考のプロセス」
