(左辺)= a+6+c< ab+1+c
(2) a+b+c< abc+2 は,(1)の a+b< ab+1 とよく似ている。
「Action》 複雑な不等式の証明は, 既知の不等式を利用せよ
園(1)(右辺)-(左辺) =D (ab+1)- (a+b)
の不等式が成り立つことを証明せよ。
(2) a+b+c<abc+2
(1) a+b<ab+1
1
前問の結果の利用
(1)の利用
工積をつくりたいコ
ab+c+1< ロ+1= abc +2= (右辺)
(6-1)a-(b-1)
= (a-1)(b-1)
lal<1, 16l<1であるから
a-1<0, _b-1<0
よって
すなわち
(a-1)(b-1) >0
ab+1-(a+b)>0
1A<0, B<0 のとき
AB>0
ab+1>a+b
したがって
(2)(1)より a+6<ab+1 であるから
(左辺) = (a+b)+c<(ab+1)+c=ab+c+1…①
ここで,lal<1, |6| <1 より
また,Ic| <1であるから
ab+c<ab·c+1= abc+1
4()に(1)を利用。
4ab を(1)のa,cを(1)の
6とみて不等式を利用
するために,lab|<1,
Ic|<1 を確認する。
labl<1
2
く
0, 2より
(左辺)<(ab+c)+1<(abc+1) +1= abc+2
したがって
a+b+c<abc+2 -s2)
(別解)
(右辺)-(左辺) = (abc+2)-(a+6+c)
1つの文字に着目
= (ab-1)c-(a+6)+2
(ab-1)c-(ab+1)+2 )に(1)を利用。
cについて整理する。
= (ab-1)c-(ab-1) 2?
(ab-1)(c-1)
ここで,|al<1,|6| <1 より,|ab| <1 であるから
小をはい
ab-1<0
また,Ic|<1 より
c-1<0
8
会
よって
(ab-1)(c-1)>0
ゆえに
(abc + 2) -(a+b+c)>0
したがって
a+b+c<abc+2
8
次の不等式を証明せよ。また, 等号が成り立つのはどのようなときか。
(1) |a+b| S la|+ |||
練習
→ p.127 問題71
。式と証明
思考のプロセス
