この軌跡の問題で、「整理すると」から「よって」の式になる理由を教えてほしいです🙏どう展開？したらこうなるのでしょうか

18点 (0, 0) からの距離と点A(0, 5)からの距離の比が2:3である点Pの軌跡を求めよ。 解答 中心が点 (0, 4), 半径が60円 解説 点Pの座標を (x, y) とする。 (I) OP: AP=2:3から 2AP=30P 両辺を2乗すると 4AP2=9OP2 .... ① また AP2=x2+(y-5)2 OP2=x2+y2 これらを①に代入すると 4{x2+(y-5)2}=9(x2+y2) x2+y2+8y-20=0 よって x2+(y+4)2=62 したがって、点Pは円x2+(y+4)²=62上にある 逆に、この円上のすべての点は,条件を満たす。 よって、点Pの軌跡は,中心が点 ( 0, -4), 半径が60円である。

そもそもkが何を指してるのかもわからないし言っている意味がほんとにわからなくて困ってます。助けてください

106 第3章 図形と方程式 Link 応用 2つの円 x+y=5 考例題 x+y2-6x-2y+5=0 の交点 A,Bと点(0, 3) を通る円の中心と半径を求めよ。 [解説] を定数として、 方程式 つまり、求める門の を考えると, ③は, 連立方程式 (x+y-5)+(x2+y-6x-2y+5)=0 ③ k=-2 (0, 3) x+y-5=0 [x2+y-6x-2y+5=0 √5- k=1 k=2 の解に対して常に成り立つ。 1 よって、kがどのような値をとっ -√5 0 3 10 ても,③は2つの円 ① ② の交 B √5 -√5 点A, B を通る図形を表す。 k=-1 なに ってるこ 解 kを定数として k(x2+y2-5)+(x2+y2-6x-2y+5)=0 (3) 15 代入して 4k+8=0 とすると,③は2つの円 ① ② の交点 A, B を通る図形を 表す ③点 (03) を通るとすると, ③にx=0, y=3を ゆえに k=-2 これを③に代入して整理すると x2+y2+6x+2y-15=0 20 すなわち (x+3)+(y+1)=52 よって、求める円の中心は点 (-3,-1), 半径は5である。 【補足】 応用例題6の③において, k=-1とおいて得られる方程式は、2つの 円の交点 A, B を通る直線を表す。 練習2つの円x2+y-4=0, x+y-4x+2y-60の2つの交点と点 36 25 深める (1,2)を通る円の中心と半径を求めよ。 応用例題6において, 方程式 ③は2点A, B を通る円のすべてを表せるか。

ここの問題がわかりません。 赤四角で囲ったところはなんで一通りしかないのですか。解説お願いします。

例題 14 4 塗り分けの問題と円順列 (3) 伊 ★★★ 図のように4等分した円盤を、赤、青、黄、黒の4色のうちの 何色かを使って塗り分ける方法は何通りあるか。 ただし、隣り合う部分は異なる色で塗ることとし、円盤を回転 して一致する塗り方は同じものと考える。 例題9 指針使う色の選び方と色の並べ方を考える必要がある。 隣り合う部分は異なる色で塗るから、使う色は4色か3色か2色。 3色の場合、1色だけは2か所を塗る。 そこで, 右の図のAとCを1色で塗 ると考えると、残りの2色でB, D を1色ずつ塗る方法は2通りあるが、 それらは180°回転するとそれぞれ一致する。 2色の場合は,各色は2か所ずつ塗る。 → 例えば, 1色はAとC, もう1色はBとD 解答 [1] 4色すべてを使う場合 [2] 3色を使う場合 (4-1)!=6 (通り) 異なる4色の円順列 使う3色の選び方は 4C3=4(通り) 選んだ3色のうち2か所を塗る色の選び方 は C=3(通り) 2か所を1色で塗ると, 残りの2か所の塗 り方は1通りに決まるから 4×3=12 (通り) [3] 2色を使う場合 使う2色の選び方は 4C2=6(通り) 選んだ2色で円盤を塗る方法は1通りに定 まるから 6通り 以上により、 求める塗り分けの方法は 6+12+6=24 (通り) O ② ② [2] まずの色を決め、 次に、ウの色を決める。 180°回転するとと ⑦が一致する。 [3] との色を決め ればよい。90°回転する と⑦とが一致する。 和の法則

一対一対応数II微分 赤線部になる理由がわかりません💦

7/27 9 接線の本数 関数 y=x-3.xのグラフについて, (1) グラフ上の点(p, が-3p)における接線の方程式を求めよ。 に (2) グラフへの接線がちょうど2つ存在するような点を (a, b) とする. このとき, (a, b)が ( (中央大商/一部変更) 存在する範囲を図示せよ. 接線の方程式 定点 (a, b) から, 曲線y=f(x) に引ける接線 定点を通る接線を求める を求めるには、曲線 y=f(x)の全ての接線を考え,その中で (a, b) を通るも のを求めるとよい。具体的には、曲線y=f(x) 上の点(t, f (t)) における接 線の方程式y=f(t) (xt)+f(t)に(x, y) = (a,b) を代入して、その式 を満たすようなt を求める. これが,接点のx座標である。 実際に代入すると, b=f'(t) (a-t) +f (t)① この式はについての方程式で、 例えば実数解が2個あれば,それらをx座標とする点において, 点(a, b) を通る接線が2本引ける f (x)が3次関数の場合, ①の異なる実数解の個数と, 定点 (a, b)から曲線y=f(x) に引ける接線の本数は等しい (解答の後の注参照). 曲線y=f(x) 上の点 (t, f (t)) における接線の方程式は,傾きf(t)で, (t, f(t)) を通る直線の方程式なので,y=f(t) (xt)+f(t) y=f(x) (a, b) (エ)\ 解答 (1) C:y=3xについて, y'=3ー3であるから,エ=pにおける接線の 方程式は y=(32-3)(x-p)+p-3p (2) (1) の接線が (a, b) を通るとき, y=(3p2-3)x2p3 b=(3p2-3)a-2p³ ∴.2が-3ap2+3a+b= 0 ・① 点 (a, b)を通り Cへの接線がちょうど2つ存在するための条件は、かの3次方 程式①の解がα, α, β (α,Bは実数で, αキβ) となること･･････ ② である (注) (2) f(p)=23-3ap2+3a+b (①の左辺) とおくと, f'(p)=62-6ap=6p(p-a) であるから,②となるのは、 右図より, a = 0 かつ 「f(0)=0またはf (α)=0」 のとき. q=f(p)| B a p YA a0 かつ「3a+b=0または-+3a+b=0」 \ よって, 点 (a, b) が存在する範囲は a B g y=f'(p)(x-p) + f (p) 3次関数の場合, 接線と接点が1 対1に対応する y=x3-3x3(土)ーは 01 一般に3次関数y=f(x)のグラ フに対して引くことができる接 線の本数は,領域ごとに下図のよ +1913.\s (1071 x=0 かつ 「y=-3x または y=x3-3r」 10 x=0におけるCの接線がy=-3であることに注意し て,これらを図示すると, 右図のようになる (ただし, 白丸は除く). y=-3x 2本) y=f(x)/ 注 3次関数の場合, 接線の本数は①の解の個数に等し いが, 4次関数では, 右図のように, 接線1本に対して接 点が2個ある場合があるので, 3本 1本 we 2本/ 1本 (接線の本数)=(解の個数) は一般には成り立たない I) 1本 3本 2本 9 演習題(解答は p.128 ) る.このとき (α,β) の範囲を求め, 図示せよ ただし, α > 0 とする. 曲線y=x6z2上の4つの異なる点における接線が,いずれも点 (α,B) を通るとす (t, f(t)) での接線が (千葉大・理一後) (α, β) を通るとする. 122

教えてほしいです😭

303. 原点を 0 とする座標平面上に,点A(2,0) を中心とする半径1の円Cと, 点B (-4, 0) を中心とする半径20円 C2がある. 点PはC1上を,点Qは C2上を,それぞれ独立に,自由に動きまわるとする. 1 OS=1/12 (OA+OQ)とするとき,点Sが動くことのできる範囲を求め, その概形をかけ. 8301-02- (2) OR=/12 (OP+OQ)とするとき,点Rが動くことのできる範囲を求め, その概形をかけ. (岡山大) S= HAO 80 4303 .90€

（2）でなぜ点Mは直線②上にあるのですか？

および長 463 基本事項 る解法も考 を消去して ① Q (x2,y2) 4\x2-x1 例題 153 基本例 十点の軌跡 |双曲線x-2y2=4と直線 y=-x+k が異なる2点P, Qで交わるとき <(1) 定数kのとりうる値の範囲を求めよ。 ((2) (1)の範囲でk を動かしたとき, 線分PQの中点Mの軌跡を求めよ。 指針 基本 151 152 (1) ①共有点実数解 双曲線と直線の方程式から導かれるxの2次方程式が 異なる2つの実数解をもつ条件、つまり判別式D>0 からkの値の範囲を求める。 (2)2点P,Qのx座標をx1, x2 とすると,1,2は(1)の2次方程式の実数解である。 M(x, y) とすると x= x1+x2 , y=-x+k 2 ←点Mは直線y=-x+k上。 解と係数の関係を用いて x+x2をkの式で表し, つなぎの文字を消去するこ とによりx,yの関係式を導く。 なお、(1)の結果により, xの範囲に制限がつくことに注意。 ...(+5) CHART 弦の中点の軌跡 解と係数の関係が効く x2-2y2=4 ...... ①, y=-x+k 1 x 解答 ②①に代入して整理すると ard ② とする。 x2-4kx+2k2+4=0 ③ (1) 2次方程式 ③の判別式をDとすると 467 ここで1241=(-2k)-1-(24)=2(-2) P 2 M 2 0 よって, k-2>0 から (k+√2-√2) したがって k<-√2, √2<k (2)PQのx座標を x1, X2 とすると, これは 2次方程式 ③の解であるから,解と係数の関係 ① (8+0)=(($0) の方針。 複雑なと 一関係の利 連立方程 に解くと + 0 より x+x2=4k M (x, y) とすると x= このとき x+x24k 2 y=-x+k=-2k+k=-k ② =2k = 2 に代入して Je.... ④ ...... 点は直線② 上にある。 これは=0のときも成り でありx =219 ④ ⑤から消去すると y=-- 2 PD 2 点の座標 また,(1)の結果と④ から x <-2√22√2 x * よって, 求める軌跡は k=1から [[] 2 もできる。 直線 y=-2 x2√2,2√2 <xの部分 (*) この条件を落とさない ように。 風のせ方占をもつとキ

文系プラチカの96の(3)でわけわからないところがあります。 角αと角βがあると思うんですけどこの2つは足したらθになるはずだと思うんですけどなぜβーαでθになるのかが本当にわからないです。 あと、β>αになる説明を見ても理解できないので教えていただきたいです。

36 96.座標平面において,放物線y=x2上の点で座標がか, p+ 1, +2 である点をそれぞれ P, Q, R とする. また, 直線PQの傾きをm1, 直線 PR の傾きを mz, <QPR=0 とする. (1) m1, m2 をそれぞれを用いて表せ. 実数全体を動くとき, mım2 の最小値を求めよ。 (2) (3) 0が最大になるかの値を求めよ. が実数全体を動くとき, nie i nie A (立教大)

なんの√2ですか

√2 √2 すなわち 232 √2+√2 x-y=0, x+y= 0 ■指針■ 0 点Pの座標を (x1, 1)とおいて,点と直線の 距離の公式を利用する。 よって PQ.PR= 点Pの座標を (x1,y1) とする。 Pは双曲線 x2-y'=α2上にあるから x₁²-y₁²=a² また、漸近線の方程式はx-y=0, x+y=0 18 (80) |x1-y1||x1+y1| √2 ✓2 1222-322_102 = 2 2 a = (一定) 2

下線を引いた部分で、なぜsinα、cosα が導けるのかが分かりません。ご教授願います。

る。 大値を求めよ。 重要 例題 168 図形への応用 (2) 00000 |点Pは円x2+y2=4上の第1象限を動く点であり,点Qは円x2+y2=16上の第 2象限を動く点である。ただし, 原点0に対して,常に ∠POQ=90°であるとす る。また、点Pからx軸に垂線 PH を下ろし,点 Qからx軸に垂線 QK を下ろ す。更に ∠POH=0 とする。このとき,△QKH の面積 S は tan0=7[ き最大値 したがって、 できる。 をもつ。まず、こ をとる。 [類 早稲田大 ] のと 重要 165 指針 △QKHの面積を求めるには,辺KH,QKの長さがわかればよい。そのためには,点 Pと点 Qの座標を式に表すことがポイント。 半径rの円x2+y2=r2上の点A(x, y) は, x=rcosa, y=rsina (αは動径 OA の 表す角) とおけることと, ∠POQ=90° より, ∠QOH = ∠POH+90°であることに着目。 OP= 2, ∠POH=0であるから,Pの座標は (2 cos 0, 2 sin 0) LQOHでとる 0Q=4, ∠QOH=0+90° であるから, Qの座標は (4cos (0+90℃), 4sin (0+90°)) 解答 Cが消去できた よって、以後は BA を考えればよい。 すなわち y 269 4 とっては 4 いけない (-4sin0 4cos0 ) 2 章 ただし 0°<0 <90° P K Ind O 6H2x =2(2cos20+4sinOcos0 ) 2 三角関数の合成 ゆえに S=1/23KH･QK=1/12 (2coso+4sind) Acos0 =2(1+cos20+2sin20)=2{√5sin(20+α)+1}|三角関数の合成。 三弦定理 sin 角 〒 2x (外接円の半 ただし, αは sinα= 2 COS α = /5 √5 , たす角。 0° <α <90° を満αは具体的な角として表 すことはできない。 0° <0 <90°から →積の公式を脱 B=2のと (0°<) a<20+α<180°+α (<270°) よって, Sは20+α=90° のとき最大値12 (√5+1) をとる。 20+α=90° のとき COS a tan20=tan(90°-α)= =2 tan a sina ゆえに 2 tan 1-tan20 =2 よってtan20+tan0-1=0 1+√5 (A)となる teが最大とな Cが正三角形 0° <6 <90° より tan0 0 であるから tan0= 202 |sina= 15. Cos a=1/5 √5 α √5 tanについての2次方 程式とみて解く。 7. Ln 0° 0/100 の風)

点A Bが放物線に関して反対側にあるための条件がよく分かりません、

• D 例題 126 正領域 負領域 ★★★☆ 座標平面上に2点A(1, 1), B(3,6)がある。 図 ... (1) 放物線y = x2 +2ax ... ① に関して, 2点A, B が互いに反対側にあ るようなαの値の範囲を求めよ。 (2)直線 ･･ ② が2点A,Bを結ぶ線分と共有点をもつとき、 点 (m,n) の存在範囲を mn 平面上に図示せよ。 条件の言い換え (1)(x,y)=(1,1) (36) を代入すると 0<8/ 思考プロセス 一方はyx+2ax, 他方はy<x2 +2ax を満たす。 ⇒ 一方はx+2ax-y < 0,他方は+2ax-y>0を満たす。 Jf(1,1) < 0 lf(3.6) > 0 A or B Jf(1,1) > 0 f(1, 1)f(3, 6) または (3.6) <0° が異符号 A or B f(1, 1) f(3, 6) <0 (2)2点A, B が直線②に関して互いに反対側にある。 Action» 領域を2つに分ける場合は,f(x,y) の積の正負を考えよ 解 (1) f(x, y) = x2 +2ax-y とおくと, 2点A, Bが放物 線 ①に関して互いに反対側にあるための条件はす f(1, 1) f(3, 6) <0 f(1, 1) = 2a, f (3,6)=3+6a より 2a(3+6a) < 0 > ①組織代人 S 1 a+ <0 よって - 1/20 <a<0 (2)g(x, y) =mx+n-y とおくと, 直線 ②が線分AB と共有点をもつための条件は よって g(1, 1) g(3, 6) ≤ 0 (m+n-1)(3m+n-60 ゆえに [m+n-1≧0 13m+n-6≦0 直線 ② 線分AB と共 有点をもつということは, 2点A, B が直線 ② に関 して互いに反対側にある 直線 ②上にあることと Jm+n-1≦0.同値である。 13m+n-6≧0n≧-m+1 または したがって,これらを mn 平面上に図示すると右の 図の斜線部分である。 (29- An 16 3m+n-6=0 m+n-1=0 2 -2 ただし、境界線を含む。 n≦-3m+6 または 5 IS mx (n≤ -m+1 In≥-3m+6 練習 126 座標平面上に2点 32