四角で囲ってあるところはどうしてこのような形にしたんですか？

n 1 an= k=12k-1 (n=1, 2, ………) とする。 (1) 不等式 2n+11dx<24ヵが成り立つことを示せ。 an (2) 極限 lim n→∞ logn を求めよ。

線で引いた所、何故円を表す時この問題では右辺を着目したのですか？

4 図形と方程式 (2) 3 次の方程式が円を表すようなkの値の範囲を求めなさい。 【解き方】 x2+y2-2kx+4y-5k = 0 x²+y2-2kx +4y-5k = 0 (x-k)2+ (y+2)²=k²+5k+4 x²+of+1+my+n=0 を (x-a2+(y-b)=の形に変形する。 これが円を表すとき, 右辺は正の数だから, k + 5k+4> 0 (k+1) (k +4)>0 k<-4, -1<k ゴ α <βのとき なぜかをまと (x-a)(x-β)>0 ならば x <a,B<x do k<-4. -1<k 解答

数列分野の問題です。（3）で青線部の恒等式はどこから持ってきたのでしょうか？どういう発想でこの式を使おうと思ったのでしょうか？ 抽象的な質問で申し訳ありません。よろしくお願いします。

必解 138 <累乗数の和の公式> dとnを正の整数とする。 1からnまでのd乗の和を Sa(n)=1+2+...... とお く。 n²(n+1)² (1) すべての正の整数nについて, S3(n)= が成り立つことを,数学的帰納 4 法を用いて証明せよ。 (2) 恒等式(k+1)-(k-1)=6k+2k を利用して, Ss (n) を求めよ。 (3) すべての正の整数nについて, 24S7 (n) は整数n(n+1)2で割り切れることを示せ。 [22 琉球大理系]

(2)ってmghいらないんですか？

76 第1章 力学 例題 23 ■単振動と保存則・I 図のように、下端が固定されて鉛直にたもたれたばねばね 定数k) があり、 その上端は,水平にたもたれた固くてうすい 板 (質量 M) の重心に取り付けられている。 はじめ板は静止し ている。その重心の鉛直上方Hの高さから,小物体(質量 m, m<M)を初速度なしで落とし, 板に衝突させる。この衝 突は完全弾性衝突とする。 重力の加速度をg とし,次の問い に対して, 主な計算式を記して答えよ。 ただし, ばねの変形 運動 はフックの法則が成立する範囲内にあるとし、 また, ばねの 質量と空気の抵抗とを無視する。 大 H m M k (1) 第1回目の衝突の直後における, (イ) 小物体の速さと (ロ) 板の 速さ V とを求めよ。 (2) 第1回目の衝突によって起こされる板の変位の最大値 A を求めよ。 ただし,この変位の最大値に達するまで, 第2回目の衝突は起こらな いものとする。 (3)(イ)板が第1回目の衝突によって動き始め,いったん下がった後, 上昇して, はじめの静止の位置にもどった瞬間に,第2回目の衝突 が起こるためには,Hをいくらにしておけばよいか。 (口) またこのHの値のとき,第1回目と第2回目の衝突の間で, 衝突 点から小物体が遠ざかる距離の最大値Lはいくらか。 (4) もし小物体と板との衝突が, 完全非弾性衝突 (e=0) だとすると、衝 突後小物体と板は一体となって振動を始める。 この振動の周期と. 振幅B の値をそれぞれ求めよ。 [愛媛大改〕 THA

ここの式変形の内容がよくわかりません。

291n!>2" ...... 1 (I) n=4のとき, (左辺) =4!=24 (右辺)=24=16 より, (左辺) > (右辺) となり, n=4のとき① は成り立つ。 (II) n=k(k≧4) のとき, ①が成り立つと仮定 k!>2k ...... ② すると, n=k+1のとき, (k+1)!>2k+1が成り立つ ことを示す。 (左辺) (右辺) =(k+1)!-2k+1 = =(k+1) ・k!-2k+1 >(k+1)2k-2k+1 (②より) =2^{(k+1)-2} =2*(k-1) kは4以上の自然数だから, 2(k-1)>0 よって、 (左辺) (右辺) > 0となり, n=k+1 のときも①は成り立つ。 (I)(II)より,n>3を満たすすべての正の整数 nについて, ①は成り立つ。 292 (I)n=1のとき Q=61+2+72.1+1

12番を詳しく教えて欲しいです🙇‍♀️🙇‍♂️

(II) 放物線y=x2+2px+g をCとし, その頂点は直線y=mx-1上にあるとす る。 ただし, p, gmは実数の定数とする。 〔解答番号 7 ~ 12〕 (1) gp, mを用いて表すと, g=7である。 (2) Cの頂点のx座標が2のとき, Cがx軸と異なる2点で交わるようなmの 値の範囲は8 ]である。 また、このときCがx軸から切り取る線分の長さ をLとすると, L=9である。 さらに, L = 6 のとき,m=10である。 (3)の値を任意に固定し, pの値だけを変化させたとき,gのとりうる値の 最小値をmin とすると,min = 11 である。 が整数で, gmin | が整数 となるようなmの値は全部で12個ある。 m 7 ア. mp-1 イ. -mp-1 -p²-mp-1 p²-mp-1 8 G. m > — — — 1 1 イ.m< ウ.m> 1. m < 1/1 2 2 ア.2m+1 イ. 4√m+1 2√2m+1 I. 4√ 2m+1 10 ア.3 Q4 (イ) 4 ウ.5 エ. 6 11 ア. m² 2 m イ 2 m² m ・1 ウ. ・2 エ. 121 2 3 I. 4

この(4)の解き方を詳しく解説お願いします🙇‍♀️

(II) 放物線y=f(x) をx軸方向に-2,y軸方向に2だけ平行移動したところ, 放物線y=x2+2(2-k)x+2(1-2k) が得られた。 ただし, は定数である。 〔解答番号 7~12〕 (1) f(x)=x'+pr+g と表せる。 このとき,p=7g=8 である。 (2)k-1≦x≦k+2の場合を考える。 f(x) の最小値は13であった。 このと き, k>0 とすると,k= 9, f(x)の最大値は 10 である。 (3)方程式f(x) =0が1より大きな解と1より小さな解をそれぞれ1つずつ もつようなkの値の範囲は11である。 〇 (4) 方程式f(x) =0が1≦x≦4の範囲に少なくとも1つの解をもつようなん の値の範囲は12である。 7 ア. -3k イ - 2k ウ.k I. k 8 ア. - 4 イ. -3 ウ.-2 1.-1. 9 ア.1 イ.2 ウ. 3 I. 4 10 ア, -10 -9 ウ.-8 H.-7 3 11. 7.k<-27 1.k>12/2 k<-/1/2 11 ア.k< 1. k> - 11/1 12 7. k< 52 1. k≤

格子定数の考え方が解説を見てもわからないです。よろしくお願いします

[数上級プラン120 (共通テスト対策) 問題90] 座標平面上で,x座標と座標がともに整数である点を格子点という。 kを自然数とする。座標平面上で、3つの不等式20,1/2,ys/2/2x+4kによっ て表される領域をDとする。 領域 D に含まれる格子点の個数を求めよう。 領域Dは3点(0,0), (アk, イ), (0, ウ)を頂点とする三角形の間およ び内部である。 =1のとき,Dに含まれる格子点の個数はエオ個である。 一般に、自然数に対し, D に含まれる格子点の個数をkを用いて表そう。 以下である点の個数は Dに含まれる格子点で座標が0以上 k2++ク)個であるから,カーケk+コk+サ である。 領域 D は右の図 [1] のように、3点 (0, 0), (4k, 2k, (0, 4k) を頂点とする三角形の周および内部である。 [1] yf 14k 12 y= x+4k k=1のとき, D に含まれる格子点の個数は図 [2]から 13個 y= 12 D を整数とする。 2k 領域内のうち、直線 y=i (0≦i≦4k) 上にある格子点の個 数を とおく。 y=i' 2i 4kx Disk のとき, a;は不等式 0≦x≦2i を満たす整数の個 数に等しいから a;=2i+1 [2]ア よって, D に含まれる格子点で y 座標が0以上2k以下であ る点の個数は 12 32 +. 10 2k Za,=2(2i+1)=2.1.2k(2k+1)+2k+1=4k²+4k+1 i=0 i=0 領域は直線y=2kに関して対称であるから 2k p=Σa, 2Σa-a2 =8k²+8k+2-(4k+1)=8k²+4k+1 1=0 16 01 2 3

（2）について質問です。実数解の数の最大値は、なぜ3ではないのですか？図のようにかんがえたら、赤線のところで最大の3個なのでは、ないですか？

数上級プラン120 (共通テスト対策) 問題119] 変数xの範囲を動くとき,xの関数 f(x)=2(sinx+cosx)+3(sinx+cosx-1) sin 2x について, 次の問いに答えよ。 (1)t=sinx+COSx とおく。 (10xの範囲におけるt=sinx+cosx のグラフの概形として最も適当なもの 次の①~③のうちから1つ選べ。 1 t 0 -1 T 4 ② 1 V21 TT 3 x 0 3 x 4 4 -1 IT 4 0 -1 34 k TC ③ t 1 KA 1 4 x -1 √√2 34 k x (ii) tsinx+cosx のグラフの概形から, αを定数とした方程式 sinx+cosx=a 異なる実数解の個数は, イウ≦く I a=√ オ のとき エ≦a<オのとき 1個, 個 である。 12. カ (iii) sin x cos x=- であるから, キ t sin 3x + cos³x=- ケ-t2), sin2x=コ ク である。 したがって, f(x) をtの関数 g(f)で表すと g(t)=サーシ^2+ スである。このとき, tのとりうる値の範囲は, イウオ である。この範囲において,g(t) は t= セのとき最大値ソ t=タチのとき最小値ツテをとる。 (2) を実数とする。 0xの範囲において, 方程式 f(x) = k は異なる実数解を最大 でト 個もつ。また、そのときのんの値の範囲は + <k<=√ヌーネである。

(2)について質問です。 赤線部のようにおけるのはなぜですか？🙇🏻‍♀️ お願いいたします🙏

159 ベクトルと図形 (Ⅱ) 平面上に1辺の長さがんの正方形OABC C π がある.この平面上に ∠AOP= ∠COP= 5π 6 57, OP=1 となる点Pをとり, -k--a A HA 線分AP の中点をMとする. M P OA=a, OP = とおいて,次の問いに答えよ. (1) 線分 OM の長さをんを用いて表せ. (2) OC a n を用いて表せ. (3) AC と OM が平行になるときのんの値を求めよ. P 精講 (1) 基本になる2つのベクトルα, p に対して, |a|, \nl, a D がわ かるので,OM を a, p で表せれば解決です (152) あるいは, AP を求めて中線定理 (I A81) を使う手もあります。 (2) 内積がからみそう (角度の条件があるから)なのでOC=sa+tp とおい てスタートします。 (3) AC, OM をd, p で表して, 係数の比が等しくなることを使います. 解答 (1)OM= atp より 2 |OMP=117+b=1/2(a+2a・D+\jp) |a|=k, \n|=1, a•p=allpcosg=k 3 2 だから k2+k+1 √k²+k+1 OM= 4 2 (2) OC=sa+tp とおくと, OC・a=0 だから (satp)• a=0 :.s|a|+ta•p=0 2k's+kt=0 150