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不等式が常に成り立つ条件 (絶対不等式)
本 例題 91
(1) すべての実数xについて, 不等式 x-ax+2a> 0 が成り立つように、
[ 東京電機大
定数aの値の範囲を定めよ。
(2) すべての実数xに対して, 不等式 kx²+(k+1)x+k≧0 が成り立つよう
な定数kの値の範囲を求めよ。
CHART&SOLUTION
定符号の2次式
常に ax+bx+c>0⇔a> 0, D < 0
常に ax2+bx+c≦0⇔a<0, D≦0
(1) x2-ax+2a=0 の判別式をDとする。
x2の係数は正であるから、 常に不等式が成り立つ条件は
D<0
(1) x²の係数は 10 → D<0であるα の条件を求める。
(2) 単に「不等式」とあるから,k=0 の場合(2次不等式でない場合)も考えることに注意。
k0 の場合、 k< 0 かつ D≦0 であるんの条件を求める。
ここで
D< 0 から 求めるαの値の範囲は
(2) kx2+(k+1)x+k≦0.
D=(-α)²-4・1・2a=a²-8a=a(a−8)
D≦0から
よって k-123,1Sk
k≤-
3'
[1] k=0 のとき, ① は x≤0
これはすべての実数xに対しては成り立たない。
[2] k0 のとき, 2次方程式 kx²+(k+1)x+k=0 の判
別式をDとすると, すべての実数x に対して, ① が成
り立つための条件は ん < 0 かつ D≦0
ここで
D=(k+1)^-4・k・k= -3k²+2k +1
=-(3k+1)(k-1)
(3k+1)(k-1)≧0
PRACTION
0<a<8
① とする。
<0 との共通範囲をとると
以上から 求めるkの値の範囲は
ks-1
5--1/32
p.146 基本事項
ks-13/12
21
下に凸の放物線が常に
x軸より上側にあるた
めの条件と同じ(p.146
基本事項2参照)。
(1)
下に凸
D<0
上に凸
D≤0
X
(2) [2] 上に凸の放物線が
x軸と共有点をもたな
い,または x軸と接す
る条件と同じ。
[2]
X
