大問105だけ、はさみうちの原理使ってるんですけど、使うときと使わない時の判断ってどうやってるんですか？式のどの部分を見たら「はさみうち」使って解く！って分からんですか？

第2章 極限 三角関数と極限 1 関数の極限と大小関係 limf(x) =α, limg(x) =β とする。 xa pix 1 xがαに近いとき,常に f(x) ≦g(x)ならば a≦β 2xがαに近いとき,常に f(x) (x)g(x) かつα=β ならば limh(x)=a 注意 上の事柄は,x→∞, x→∞の場合にも成り立つ。 ■ 次の極限を求めよ。 [104, 105] 1-cos 3x □ 104(1) lim x→0 x2 1 *105(1) limxcos 0+x x 第2節 関数の極限 31 0 (2) lim sinx2 x01−cosx (2) lim 1+sinx XII∞ x 第2章 極限 注意2を「はさみうちの原理」 ということがある。 例題 3 limf(x)=∞ のとき,十分大きいxで常に f(x)≦g(x) ならば limg(x) =∞ |2 三角関数と極限 sinx lim x0 x x =1, lim -1 (角の単位はラジアン) x-0 sinx STEPA 中心が 0, 直径 ABが4の半円の弧の中点をMとし, Aから出た光線 が弧 MB 上の点Pで反射して, AB上の点Qにくるとする。 (1) 0=∠PAB とするとき, OQ の長さを0で表せ。 (2) PBに限りなく近づくとき, Qはどんな点に近づいていくか。 |指針 Aから出た光線か MB上の点Pで反射して, AB上の点Qにくるとき ∠OPA = ∠OPQ sin O 求めるものを式で表し、 などの極限に帰着させる。 解答 (1) 右の図において ✓ 99 次の極限を調べよ。 ZOQ= ∠OPA=∠OAP=0 ∠PQB= ∠PAQ+ ∠APQ=30 M 2 (1) lim cos- *(2) lim (3)lim x tanx x–0 sinx よって ∠OQP=30 △OPQに正弦定理を用いると,P=2 であるから 30 0 Q B ■次の極限を求めよ。 [ 100~103] ✓ 100 (1) lim x→0 sin 4x XC sin2x *(2) lim x-0 sin5x (3) lim x-0 tant sin3x tan2x-sinx □ 101 (1) lim- *(2) lim x→0 x 1-cos 2x x-0 xsinx (3) lim x→0 sin3x+sinx sin2x □ 102(1) lim COS X x-Sin2x (2) lim- sin2x (3) lim x01−cosx 103*(1) lim tan x X10 x *(4) lim- sinлx x-1 x-1 1−cosx t- sinx STEPB *(2) lim X→π OQ 2 sin O sin(-30) また, sin (π-30)=sin30 であるから 2sin OQ= sin 30 (2)PがBに限りなく近づくとき, 0 +0 である。 このとき 2 sin 2 sin 3 2 lim OQ= lim lim 8+0 o sin 30 0-40 3 0 sin 36 3 よって,Qは線分 OB上の0からの距離にある点に近づいていく。圏 □ 106 半径αの円周上に動点Pと定点Aがある。 Aにおける接線上に AQ=AP であるような点Qを直線OAに関してPと同じ側にとる。PがA PQ に限りなく近づくとき, AP の極限値を求めよ。 ただし,Pは ∠AOP (0<< AOP < 1)に対する弧AP の長さを表す。 sin(x-7) x-π (3) lim x-- tanx xn ax+b 1 sin(sinx) (5) lim x→0 sinx 1 107 等式 lim (6) limxsin COS x 2x が成り立つように, 定数a, b の値を定めよ。

数B 数列の問題です。練習27を教科書の例題を見ながら途中まで解いてみましたが、ここまで合っているかどうかも、この先の解き方も分かりません。

ここでは、1からnまでの自然数の2乗の和 第2節 いろいろな数列 | 27 Σ k² = 1²+2²+3²+...+n² を求めてみよう。 恒等式(k-1)=3k-3k+1 を利用して考える。 に1からnまでを順に代入すると 5 左辺だけ加えると k=1 13-03-3-12-3-1+1 N-03 k=2 23-13-3-22-3.2+1 k=3 3-2°=3.32-3・3+1 + n-(n-1)3 n3-03 k=nn³-(n-1)³=3.n²-3⋅n+1 これらn個の等式の辺々を加えると n=3(1+2+3+......+n") - 3(1+2+3+... +n) +1×n 第1章 数列 練27 (43451 k4-(k-1)" 2 468-660-46-1 を用いて 次の等を証明せよ。 ん {In (n+1)}" k=1 K=2 K=3 100 k=w 13×23×33× 1"-04 4.13 -6.12 +4.1 - 1 2" - 17 = 4.23-6-22-412-1 34-24 = 4.33-63244×3-1 h" - (n-1) = 4 n³ - 6 ∙n² +4. n -1 10 これろん個の等式の辺々を加えると 14- 4 (13 + 2 ³ - 33 + +-6(1+2+32+TH + 4(1727311 th) n すなれる n4 E 4263 kol 2 6号に+4に 1 kol " 15 h4 = 4 2 ₤ 3 - 6 2 1²-4.2 4.(n+1)-1 (CH すなわち n³=3k²-3k+n k=1 k=1 1 n³-3 k²-3n(n+1)+n k = n(n+1) k=1 よって 6k=2n+3n(n+1)-2n k=1 6k=n(n+1)(2n+1) k=1 したがって Σ k² = 1² +2²+3² + ......+n²= n(n+1)(2n+1) k=1 練習等式 -(k-1)^=4k-6k²+4k-1 を用いて, 次の等式を証明 27 せよ。 {1/(n+1)} =1+2+3+…+= {/12n (n+1) *kにどのような値を代入しても成り立つ等式を,kについての恒等式という。 20

数II 円の接線、接点の問題です。練習31を、教科書の例を基に解いているのですが、x₁の消去の仕方がわかりません。解き方を教えてください。

5/8 練31 P103 点A(2,1)から円に引いた後線の試と接定の座幅 第2節 円 103 | 接点をPlug)とすると、Pu円上にあるかる。 2 x² + y² = 10 前ページの,円上の点における接線の方程式の公式を用いて、円の外 部の点から円に引いた接線の方程式を求めてみよう。 第3章 図形と方程式 「応用 例題 3 点A(1,3)から円 x2+y2=5に引いた接線の方程式と接点の座 標を求めよ。 考え方 前ページの接線の公式を用いるためには、 接点の座標が必要である。 接点をP(x1,y) とする。 TATKOMEBER 解答 接点をP(x1,y) とすると, Pは円上 にあるから 12+2=5 ① A(1,3) √5 また,Pにおける円の接線の方程式は 10 √5 0 √5 x xx+yy=5 ・・・・・・② この直線が点A (1, 3) を通るから 2+y2=5 1+3y1=5 ③ ①③ から x を消去して整理すると y₁2-3y₁+2=0 これを解くと y=1, 2) ③に代入して y=1 のとき x=2, y=2 のとき x=-1 よって、 接線の方程式 ②と接点P (x1,y) の座標は,次のよう になる。 接線 2x+y=5, 接点 (2,1) 20 接線 -x+2y=5, 接点 (-1, 2) 【?】 求めた2つの接線が、円x2+y2=5に接していることを確認してみ よう 練習A(21) から円 x2+y^2=1 に引いた接線の方程式と接点の座標を 25 31 求めよ。 5 また、Pにおける円の接線の方程式は。 x, x + y, z=1 ② この直線が点A(2,1)を通るから。 2x+y=1 ③

数II 図形と方程式の問題です。応用例題3の下線部から先が分かりません。x₁を消去して整理する方法と、その後の考え方を教えてください。

第2節 円 | 103 | 前ページの,円上の点における接線の方程式の公式を用いて、円の外 一部の点から円に引いた接線の方程式を求めてみよう。 応用 例題 3 点A(1,3)から円 x2+y2=5に引いた接線の方程式と接点の座 標を求めよ。 考え方 前ページの接線の公式を用いるためには、接点の座標が必要である。 接点をP(x1,y) とする。 解答 接点をP(x1,y1) とすると, Pは円上 第3章 図形と方程式 110 にあるから (A(1,3) x+y2=5 ① x+y=5 また,Pにおける円の接線の方程式はF (2) Y -√5 0 √5 x この直線が点A(1,3) を通るから C-15 x²+ y²=5 x+3y=5 ①③ から x を消去して整理すると y2-3y+2=0 これを解くと =1,2 ③に代入して y=1 のとき x1 =2, y=2のとき x=-1 よって、 接線の方程式 ②と接点P (x1,y) の座標は,次のよう になる。 接線 2x+y=5, 接点 (2,1) 接線 -x+2y=5, 接点 (-1, 2) 【?】 求めた2つの接線が,円x2+y2=5に接していることを確認してみ よう 20 目標 練習 点 A (2,1) から円 x2+y2=1 に引いた接線の方程式と接点の座標を 25 31 求めよ。

位置ベクトルの問題について、 ？　部分の流れが分かりません。 なぜ示された比の関係から それぞれの式が成り立つのでしょうか どなたか解説お願いします💦

B 2直線の交点 応用 第2節 ベクトルと平面図形 37 5 例題 △OAB において,辺OAの中点をC辺OBを2:1に内分する 4点をDとし, 線分AD と線分BC の交点をPとする。 OA=d, OB= とするとき,OP を a, を用いて表せ。 |考え方 AP:PD=s: (1-s), BP:PC=t: (1-t) とすると, OP は, も を用いて2通りに表せる。 16ページで学んだように, OP の表し方は ただ1通りしかないことからs, tの値が定まる。 解答 10 15 OP=Oa+b, OP=O'a+□■ AP:PD=s: (1-s) とすると OP= (1-s) OA+ SOD => ○=0', □=□、 C D 2 =(1-s)â+ BP:PC=t: (1 - t) とすると、 OP=tOC+ (1-t)OB ③ a A =tā+(1−t) b 2 第1章 平面上のベクトル B a = 1, 10 で,とは平行でないから、OPのà, を用い キ た表し方はただ1通りである。 HAJAJ -s=1/2/11/28=1-t ①②から 3 これを解くと S= t = ① ② のどちらか 4' 2 に代入する。 1 よって OP -a+

⑴のときはf(0)>0でいいのに、どうして （2）だとf(0)>0がダメで、f(-1)>0にするのか教えてください

第2節 2次方程式と2次不等式 55 *224 2次関数 y=x2+mx+2 が次の条件を満たすように, 定数の値の範囲を 定めよ。 (1)この2次関数のグラフとx軸の正の部分が異なる2点で交わる。 (2) この2次関数のグラフと x軸のx<-1 の部分が異なる2点で交わる。 -on- thi xu —² | 2(m. 2が軸の下の部分と色の部分のそれぞれ

どうしてグラフが上に凸だとわかるんですか 教えてください

第2節 2次方程式と2次不等式 53 解答 値の 例題 27 2次不等式 ax2+bx+4<0 の解がx<-1,2<x であるとき,定数 a,bの値を求めよ。 指針 グラフで考えると, y=ax2+bx+4 のグラフが点 (-1,0),(20) を通り, 上に凸。 条件から, y=ax2+bx+4 のグラフは x <-1, 2<xの 範囲でx軸より下側にある。 2.25 すなわち, 上に凸の放物線で, 2点 (1,0),(20) 通るから a <0 0=a-b+4 -1 2 x ・①, ②, 0=4a+26+4 ③ 2262 ② ③ を解くと a=-2,b=2 これは ①を満たす。 答 a=-2,6=2

赤丸の範囲になるのがわかりません！！

コ) 第2節 媒介変数表示と極座標 | 149 | ◆注意 前ページの楕円の媒介変数表示における楕円上の点 P(acose, bsine) について,動径 OPの表す角は0ではない。 5 練習 [目標 23 角0を媒介変数として,次の楕円を表せ。 (1) 32 22-1 (2)x2+3y2=3 次に,双曲線の媒介変数表示を考えよう。 練習 Link 0が変化するとき, 考察 24 ya 点P (cosg, tano) tan P coso は双曲線 x2-y2=1 上を動くことを 示せ。 -1 2 011 北 練習24において, 1≤cos0≤1 T あるから S-1 1≤ coso cose +(x) また, tan0 はすべての実数値をとるから、8が変化するとき、点 は双曲線 x-y=1 上のすべての点を動く。 したがって,双曲線 x 2-y2 =1 は次のように媒介変数表示される。 x= 1 cos' y=tan 一般に,双曲線 される。 目標 練習 25 双曲線 第4章 式と曲線 10 も成り立つ。 15 xv=1 は,たとえば次のように媒介変数表示 a2 62 a x= cos' y=btan x2y2 52 42 -=1 を媒介変数を用いて表せ。

急に恒等式k³-(k-1)³= と出てくるのはどっからですか💦

ここでは,1からnまでの自然数の2乗の和 n Σk²=12+22+3² + ......+n² 第2節 いろいろな数列 | 2 k=1 を求めてみよう。 * 恒等式(k-1)=3k2-3k+1 を利用して考える。 kに1からnまでを順に代入すると 左辺だけ加えると X3-03 k=1 k=2 k=3 13-03-3-12-3.1+1 23-13-322-3.2+1 33-2°=3.32-3・3+1 33-23 +) n n3-(n-1)3 n3-03 k=nn-(n-1)=3.n²-3n+1末の場 これらn個の等式の辺々を加えると n=3(12+2+32 +......+n²) - 3(1+2+3+....+n)+1×n すなわち n n3=3k2-3 Σ k+n k=1 よって n k=1 1 2 n³=3 k²-3.n(n+1)+1 n k=1 6 k²=2n+3n (n+1)-2n k=1 n 1 6k²=n(n+1)(2n+1) k=1 1 6 k=n(n+ k=1 Σk²=1²+2²+3²+......+n²= n(n+1)(2n+1) したがって k=1 HE

新高1の入学前課題です。 ⭕️がついている問題のうち、青い丸がついていない4問を解説していただきたいです。(解説がついていない問題集なため)そして、5番の7分の13〜〜とかの問題は素直に割りまくるしかないのでしょうか？

問題 第2節 実数 43 第1章 13 7 を小数で表したとき, 小数第50位の数字を求めよ。 he → p.29~31 数と式 6 αが次の値をとるとき,|-3|-|a+2の値を求めよ。 (1) a=0 p.34.35 2a=-3 2 170 4 4 3 a=√5 が次の値をとるとき,(x+1)" の値を求めよ。 x=3 Op.37 2 (2)x=-1 (3) x=-√√5 次の(1),(2)の式を計算せよ。また,(3)~(5)の式の分母を有理化せよ。 (1) 2√/27-3√12+√54 √3-1 √8 → p.38~40 (2)(√3+√6) 2√3+√2 3-√3 √3-√2 √√6 (1-√3) 9 √2 =1.4142 とするとき, 次の値を小数第4位まで求めよ。 ただし, 必要であれば小数第5位を四捨五入せよ。 → p.39, 40 √2 2 3(√2-1) √5-√3 √5+√3 10 x= y= √5+√3 √√57√√3 のとき,次の式の値を求めよ。 p.41 x2+y2 xy+xy3 ((3) x y y x 11 実数aに対し, n≦a を満たす最大の整数nをαの整数部分といい a-nをαの小数部分ということにする。 たとえば, 3.1の整数部分は 3であり,小数部分は 3.1-3=0.1 である。 このとき、次の実数の整数部分と小数部分を求めよ。 (1) 1.25 (2)√3 (3) -3.1 (4) /10-3